[論文レビュー] Model Theory for theta-Complete Ultrapowers

Saharon Shelah|arXiv (Cornell University)|Mar 21, 2013

Advanced Algebra and Logic参考文献 2被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、$ \theta $ がコンパクトな基数であるとき、$ L_{\theta,\theta}(\tau) $ における完全理論のモデル理論を展開し、$ \theta $-完全な超べきに注目する。2つの異なる安定性の概念を用いて、超べきが飽和する理論を特徴づけ、$ L^1_{<\theta} $ との関係を確立し、2つのモデルが $ L^1_{<\theta} $-同値であることと、$ \theta $-完全な超フィルターの $ \omega $-列に沿った反復超べきが同型であることとは同値であることを証明する。

ABSTRACT

We would like to develop model theory for T, a complete theory in L_{theta,theta}(tau) when theta is a compact cardinal. We have bare bones stability theory and it seemed we can go no further. Dealing with ultrapowers (and ultraproducts) naturally we restrict ourselves to D a theta-complete ultrafilter on I, probably (I,theta)-regular. The basic theorems work and can be generalized (like Los theorem), but can we generalize deeper parts of model theory? In particular, can we generalize stability enough to generalize [Sh:c, Ch. VI]? Let us concentrate on saturated in the local sense (types consisting of instances of one formula). We prove that at least we can characterize the T's (of cardinality 2^kappa +|T| in each of the following two senses. One is generalizing Keisler order which measures how saturated are ultrapowers. Another asks: Is there an L_{theta,theta}-theory T_1 supseteq T of cardinality |T| + 2^theta such that for every model M_1 of T_1 of cardinality > lambda, the tau(T)-reduct M of M_1 is lambda^+-saturated. Moreover, the two versions of stable used in the characterization are different. Further we succeed to connect our investigation with the logic L^1_{< theta} introduced in [Sh:797] proving it satisfies several parallel of classical theorems on first order logic, strengthening the thesis that it is a natural logic. In particular, two models are L^1_{<theta}-equivalent iff for some omega-sequence of theta-complete ultrafilters, the iterated ultra-powers by it of those two models are isomorphic.

研究の動機と目的

• コンパクト基数 $ \theta $ に対して $ L_{\theta,\theta}(\tau) $-理論における安定性理論を拡張すること。
• $ \theta $-完全な超フィルターに関する超べきの飽和性を調査すること。
• 飽和性を測るためのケイラー順序の一般化を $ L_{\theta,\theta} $-理論に適用すること。
• 理論 $ T_1 \supseteq T $ で $ |T| + 2^\theta $ の大きさを持つもので、すべての $ \lambda $ より大きなモデルが $ \lambda^+ $-飽和した $ \tau(T) $-還元を持つようなものが存在するかを特定すること。
• 反復超べきを介して $ L^1_{<\theta} $ の論理とモデル理論的性質を結びつけること。

提案手法

• $ \theta $-正則な添え字集合上の $ \theta $-完全な超フィルターを用いて超べきを構成し、その飽和性を分析する。
• ローゼンの定理のような古典的モデル理論的結果を $ L_{\theta,\theta} $ の文脈に一般化する。
• 単一の論理式によって定義される型の局所的飽和性に特化した、2つの異なる安定性の概念を導入する。
• $ \theta $-完全な超フィルターの $ \omega $-列に沿った反復超べきの同型性を特徴づけるために、$ |T| + 2^\theta $ の大きさの $ L_{\theta,\theta} $-理論 $ T_1 $ を構成する。
• $ L^1_{<\theta} $-同値性の特徴づけを、$ \theta $-完全な超フィルターの $ \omega $-列に沿った反復超べきの同型性を用いて確立する。
• [Sh:797] における $ L^1_{<\theta} $ の結果を活用し、無限限論理における古典的定理の類似を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $ \theta $ がコンパクトであるとき、$ L_{\theta,\theta}(\tau) $ における安定性理論は、単なる基礎的結果を超えて一般化可能か？
• RQ2 $ \theta $-完全な超フィルターに対して、モデルの超べきがいつ $ \lambda^+ $-飽和するか？
• RQ3 $ |T| + 2^\theta $ の大きさの理論 $ T_1 \supseteq T $ が存在し、すべての $ \lambda $ より大きなサイズのモデルが $ \lambda^+ $-飽和した $ \tau(T) $-還元を持つものか？
• RQ4 本研究で用いられる2つの異なる安定性の概念は、互いにどのように関係し、飽和性と関係しているか？
• RQ5 $ L^1_{<\theta} $ のモデル理論的意義は何か？ そして、反復超べきとどのように関係しているか？

主な発見

• この論文は、2つの異なる安定性の概念を用いて、超べきが飽和する $ L_{\theta,\theta} $-理論を特徴づけ、そのうちの1つはケイラー順序の一般化を含む。
• すべての $ \lambda $ より大きなサイズのモデルが $ \lambda^+ $-飽和した $ \tau(T) $-還元を持つような、$ |T| + 2^\theta $ の大きさの理論 $ T_1 \supseteq T $ が存在することを証明した。
• $ L^1_{<\theta} $ は古典的モデル理論的定理の類似を満たしており、自然な無限限論理としての地位を強化する。
• 2つのモデルが $ L^1_{<\theta} $-同値であることと、$ \theta $-完全な超フィルターの $ \omega $-列に沿った反復超べきが同型であることとは同値である。
• $ L^1_{<\theta} $-同値性と反復超べきの関係は、この無限限論理的文脈における初等同値の新しい特徴づけを提供する。
• 結果として、$ \theta $ がコンパクトであるとき、基本的な超積定理を超えた、より深いモデル理論的構造が $ L_{\theta,\theta} $ に一般化可能であることが示された。