[論文レビュー] Modular representations and branching rules for affine and cyclotomic Yokonuma-Hecke algebras

Weideng Cui, Jinkui Wan|arXiv (Cornell University)|Jun 22, 2015

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 38被引用数 8

ひとこと要約

この論文は、ℤ/rℤ に関するアフィン・ヨコヌマ・ヘッケ代数の加群カテゴリと、A型アフィン・ヘッケ代数のテンソル積の間の同値性を確立し、代数的閉体の標数 p が r を割り切らない場合に、これらの代数の単純加群およびモジュラー分岐則の分類を可能にする。主な結果は、これらの分岐則が量子アフィン代数の整形式加群のクリスタルグラフと一致することを示している。

ABSTRACT

We give an equivalence between a module category of the affine Yokonuma-Hecke algebra (associated with the group $\mathbb{Z}/r\mathbb{Z}$) and its suitable counterpart for a direct sum of tensor products of affine Hecke algebras of type $A$. We then develop several applications of this result. In particular, the simple modules of the affine Yokonuma-Hecke algebra and of its associated cyclotomic algebra are classified over an algebraically closed field of characteristic $p$ when $p$ does not divide $r$. The modular branching rules for these algebras are obtained, and they are further identified with crystal graphs of integrable modules for quantum affine algebras.

研究の動機と目的

• アフィン・ヨコヌマ・ヘッケ代数の加群カテゴリと、A型アフィン・ヘッケ代数のテンソル積の直和の間のカテゴリカル同値性を確立すること。
• 標数 p が r を割り切らない代数的閉体上でのアフィン・ヨコヌマ・ヘッケ代数およびその巡回的商の単純加群を分類すること。
• これらの代数のモジュラー分岐則を導出し、表現理論における組合せ的構造と関連付けること。
• 得られた分岐則が、量子アフィン代数の整形式加群のクリスタルグラフと一致することを特定すること。

提案手法

• ℤ/rℤ に関連するアフィン・ヨコヌマ・ヘッケ代数と、A型アフィン・ヘッケ代数のテンソル積の直和との間の加群カテゴリの同値性を構築すること。
• アフィン・ヨコヌマ・ヘッケ代数をクロス積としての構造を用いて、その表現論をアフィン・ヘッケ代数のテンソル積の表現論と関連付けること。
• 標数 p が r を割り切らないと仮定し、p におけるモジュラー表現論の技法を用いて単純加群を分析すること。
• 巡回的ヘッケ代数の理論を用いて、アフィン・ヨコヌマ・ヘッケ代数の巡回的商への結果の拡張を行うこと。
• 同値性を用いて、テンソル積の設定からアフィン・ヨコヌマ・ヘッケ代数への分岐則を移行すること。
• モジュラー分岐則と、量子アフィン代数の整形式加群のクリスタルグラフとの対応関係を確立すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 アフィン・ヨコヌマ・ヘッケ代数の表現論は、A型アフィン・ヘッケ代数のテンソル積の表現論とどのように関連付けることができるか？
• RQ2 標数 p が r を割り切らない正の標数 p におけるアフィン・ヨコヌマ・ヘッケ代数およびその巡回的商の単純加群はどのように分類できるか？
• RQ3 これらの代数のモジュラー分岐則は何か、そして表現理論における既知の組合せ的対象とどのように関連するか？
• RQ4 アフィン・ヨコヌマ・ヘッケ代数のモジュラー分岐則は、量子アフィン代数の整形式加群のクリスタルグラフと特定できるか？

主な発見

• アフィン・ヨコヌマ・ヘッケ代数（ℤ/rℤ に対して）の加群カテゴリと、A型アフィン・ヘッケ代数のテンソル積の直和との同値性が確立された。
• 標数 p が r を割り切らない代数的閉体上、アフィン・ヨコヌマ・ヘッケ代数およびその巡回的商の単純加群が完全に分類された。
• アフィン・ヨコヌマ・ヘッケ代数およびその巡回的商の両方のモジュラー分岐則が明示的に導出された。
• これらのモジュラー分岐則が、量子アフィン代数の整形式最高重量加群のクリスタルグラフと一致することが示された。
• 分類および分岐則は、体の標数 p が r を割り切らないという条件下で有効である。
• 結果は、アフィン・ヨコヌマ・ヘッケ代数のモジュラー表現理論と、量子アフィン代数の組合せ論の間の橋渡しを提供する。