[論文レビュー] Moduli Space of $\Lambda$-modules on Projective Deligne-Mumford Stacks

Hao Sun|arXiv (Cornell University)|Mar 25, 2020

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 34被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、幾何的不変理論（GIT）を用いて、射影的デリーニュ＝ムーディー・スタック上の$\Lambda$-加群のモジュライ空間を構成し、それが準射影的スキームであることを証明する。これは、滑らかな射影的代数多様体上の$\Lambda$-加群に関するシンプソンの研究を、代数空間上のねじれのある、射影的デリーニュ＝ムーディー・スタックというより広い設定に一般化したものであり、$\Lambda$-商関手の代表可能性を確立し、モジュライ構成に不可欠な有界性および半安定性条件を示している。

ABSTRACT

In this paper, we define $\\Lambda$-quot-functors on Deligne-Mumford stacks. We prove that the $\\Lambda$-quot-functor is representable by an algebraic space. Then, we construct the moduli space of $\\Lambda$-modules on a projective Deligne-Mumford stack. We prove that this moduli space is a quasi-projective scheme.

研究の動機と目的

• 滑らかな射影的代数多様体上の$\Lambda$-加群のモジュライ空間の代数的構成法を、射影的デリーニュ＝ムーディー・スタックへと拡張すること。
• 特にパラホリックヒッグスバンドルやねじれたヒッグス対に対して、デリーニュ＝ムーディー・スタック上の$\Lambda$-加群のモジュライ空間を構成するという未解決問題を解決すること。
• 代数空間によって$\Lambda$-商関手が代表可能であることを確立し、$p$-安定性条件下での$\Lambda$-加群の有界性を証明すること。
• 滑らかな射影的エタール被覆の存在を仮定しないスタックに対し、シンプソンの$p$-半安定$\Lambda$-加群に関する結果を一般化すること。

提案手法

• デリーニュ＝ムーディー・スタック上での$\Lambda$-商関手の定義と、アーツィンの基準を用いた代数空間による代表可能性の証明。
• 修正されたヒルベルト多項式と$p$-安定性条件を導入し、$\Lambda$-加群の解析と有界性の保証に用いる。
• 幾何的不変理論（GIT）を用いて、$\mathrm{SL}(V)$によるQuotスキームの良い商としてモジュライ空間を構成する。
• ハーダー＝ナラシマンおよびジョルダン＝ホルダー層の分解を用いて、$p$-半安定$\Lambda$-加群を特徴付け、軌道閉包の同値性を証明する。
• $p$-半安定性下での$\Lambda$-加群の有界性を、コホノロジー的推定と十分大きな$N$におけるグローバル生成性を用いて証明する。
• ジョルダン＝ホルダー層の各層のグレーディング成分と飽和部分加群との間に同型を確立し、$\mathcal{F}' \cong \bigoplus \mathscr{H}_\beta$を示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 射影的デリーニュ＝ムーディー・スタック上で、シンプソンの結果を拡張して$\Lambda$-加群のモジュライ空間を代数的に構成できるか？
• RQ2 このようなスタック上での$\Lambda$-商関手は代数空間によって代表可能か？
• RQ3 射影的デリーニュ＝ムーディー・スタック上での$p$-半安定$\Lambda$-加群のモジュライ空間は存在し、かつ準射影的か？
• RQ4 非可換ホッジ対応は、ルートスタックや一般のデリーニュ＝ムーディー・スタックに対して、$\Lambda$-加群を用いて拡張可能か？
• RQ5 スタック上での$\Lambda$-加群の有界性および半安定性を保証する条件は何か？ これによりモジュライ構成が可能になる。

主な発見

• 射影的デリーニュ＝ムーディー・スタック上での$\Lambda$-商関手は代数空間によって代表可能である。
• $p$-半安定$\Lambda$-加群で、固定された修正ヒルベルト多項式$P$を持つモジュライ空間は、底の代数空間上での準射影的スキームである。
• モジュライ空間は、$p$-半安定$\Lambda$-加群の$S$-同値類を普遍的に共表現し、点は$S$-同値類に対応する。
• 安定部分層$\mathcal{M}_{\Lambda}^{s}$は、$p$-安定$\Lambda$-加群の同型類の粗いモジュライ空間である。
• $p$-半安定$\Lambda$-加群のジョルダン＝ホルダー層の分解は、同型を除いて一意であり、Quotスキームにおける軌道閉包は、関連するグレーディング対象の同型類に正確に対応する。
• 十分大きな$N$に対して、コホノロジー的等式$h^0(X, F_{\mathcal{E}}(\mathscr{I}_\beta)(N)) = h^0(X, F_{\mathcal{E}}(\mathscr{H}_\beta)(N))$が成り立つと、$\mathscr{I}_\beta = \mathscr{H}_\beta$が従い、これにより同型$\mathcal{F}' \cong \bigoplus \mathscr{H}_\beta$が保証される。