[論文レビュー] Purity and 2-Calabi-Yau categories

Ben Davison|arXiv (Cornell University)|Jun 14, 2021

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 113被引用数 6

ひとこと要約

この論文は、2-Calabi–Yau 圏の良いモジュライ空間を持つ場合、ホモロジー代数的フォーマリティと前射型代数のエタール局所モデルを用いて、混合ホッジモジュールの純粋性を確立する。直接像 $p_!ω_{\mathfrak{M}}$ が純粋であることを証明し、特異的かつスタック的なモジュライスタックへの純粋性の一般化を達成し、BPS代数の生成子としてのカスピダルコホモロジーを導入する。

ABSTRACT

For various 2-Calabi-Yau categories $\mathscr{C}$ for which the stack of objects $\mathfrak{M}$ has a good moduli space $p\colon\mathfrak{M} ightarrow \mathcal{M}$, we establish purity of the mixed Hodge module complex $p_{!}\underline{\mathbb{Q}}_{\mathfrak{M}}$. We do this by using formality in 2CY categories, along with étale neighbourhood theorems for stacks, to prove that the morphism $p$ is modelled étale-locally by the semisimplification morphism from the stack of modules of a preprojective algebra. Then via the integrality theorem in cohomological Donaldson-Thomas theory we prove purity of $p_{!}\underline{\mathbb{Q}}_{\mathfrak{M}}$. It follows that the Beilinson-Bernstein-Deligne-Gabber decomposition theorem for the constant sheaf holds for the morphism $p$, despite the possibly very singular and stacky nature of $\mathfrak{M}$. We use this to define cuspidal cohomology for $\mathfrak{M}$, which is conjecturally a complete space of generators for the BPS algebra associated to $\mathscr{C}$. We prove purity of the Borel-Moore homology of the moduli stack $\mathfrak{M}$, provided its good moduli space $\mathcal{M}$ is projective, or admits a suitable contracting $\mathbb{C}^*$-action. In particular, when $\mathfrak{M}$ is the moduli stack of Gieseker-semistable sheaves on a K3 surface, this proves a conjecture of Halpern-Leistner. We use these results to moreover prove purity for several stacks of coherent sheaves that do not admit a good moduli space. Without the usual assumption that $r$ and $d$ are coprime, we prove that the Borel-Moore homology of the stack of semistable degree $d$ rank $r$ Higgs sheaves is pure and carries a perverse filtration with respect to the Hitchin base, generalising the usual perverse filtration for the Hitchin system to the case of singular stacks of Higgs sheaves.

研究の動機と目的

• 2-Calabi–Yau 圏における対象のモジュライスタック $\mathfrak{M}$ に対して、$p_!\underline{\mathbb{Q}}_{\mathfrak{M}}$ の混合ホッジモジュール複体の純粋性を、良いモジュライ空間を持つ場合に確立すること。
• 特異的かつスタック的なモジュライスタック、特に良いモジュライ空間を持たない場合を含めて、 perverse フィルトレーションおよびボレル＝ムーアホモロジーの純粋性理論を一般化すること。
• 2-Calabi–Yau 圏に付随する BPS代数の完全な生成集合となる可能性を有する、カスピダルコホモロジーを定義し、その性質を調査すること。
• K3面上の半安定層のモジュライスタックの純粋性に関するハルフェルン＝ライストナーの予想を証明すること。
• ランクと次数が互いに素であることを仮定しない、特異的スタックとしてのヒチン系への perverse フィルトレーションの一般化を達成すること。

提案手法

• 左2-Calabi–Yau 圏における、自己同型代数が半単純である対象に対して、ヤネダ代数のフォーマリティを用い、局所的構造を前射型代数に還元すること。
• アルパー、ホール、ライドのエタール局所定理を適用し、良いモジュライ空間射 $p: \mathfrak{M} \to \mathcal{M}$ が、前射型代数の半単純化射とエタール局所同型であることを示すこと。
• コホモロジカルドナルドソン＝トーマス理論における整数性定理を活用し、$p_!\underline{\mathbb{Q}}_{\mathfrak{M}}$ の純粋性を導出すること。
• スタック的かつ特異的である $\mathfrak{M}$ に対しても、ベイリソン＝ベルンシュタイン＝デリーニュ＝ガッブリエル分解定理を $p_!\underline{\mathbb{Q}}_{\mathfrak{M}}$ に適用すること。
• $p_!\underline{\mathbb{Q}}_{\mathfrak{M}}$ の最高の perverse フィルトレーション層に対応する直和成分としてカスピダルコホモロジーを構成すること。
• 完全化と導来変形理論を用いて、dg 圏における半単純対象の形式的近傍を分析すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 2-Calabi–Yau 圏における対象のモジュライスタック $\mathfrak{M}$ に対して、良いモジュライ空間 $\mathcal{M}$ を持つ場合、混合ホッジモジュール複体 $p_!\underline{\mathbb{Q}}_{\mathfrak{M}}$ は純粋か？
• RQ2 ボレル＝ムーアホモロジー上の perverse フィルトレーションは、特異的かつスタック的なヒッグス層のモジュライスタックへ一般化可能か？
• RQ3 モジュライスタック $\mathfrak{M}$ のカスピダルコホモロジーは、2CY 圏に付随する BPS代数の完全な生成集合を提供するか？
• RQ4 K3面上の半安定層のモジュライスタックのボレル＝ムーアホモロジーは、ハルフェルン＝ライストナーの予想通り純粋か？
• RQ5 良いモジュライ空間を持たない、連接層のスタックに対しても純粋性の結果を一般化可能か？

主な発見

• 任意の2-Calabi–Yau 圏に対して、良いモジュライ空間 $p: \mathfrak{M} \to \mathcal{M}$ を持つ場合、混合ホッジモジュール $p_!\underline{\mathbb{Q}}_{\mathfrak{M}}$ は、すべての $i$ に対して、次数 $i$ で重み $i$ の純粋性を有する。
• 射 $p: \mathfrak{M} \to \mathcal{M}$ は、前射型代数の表現スタックからそのアフィニゼーションへの半単純化射とエタール局所同型である。
• カスピダルコホモロジーは、$p_!\underline{\mathbb{Q}}_{\mathfrak{M}}$ の最高の perverse フィルトレーション層に対応する直和成分として定義され、2CY 圏の BPS代数の生成子であると予想される。
• $\mathcal{M}$ が射影的であるか、適切な $\mathbb{C}^*$-作用を持つ場合、$\mathfrak{M}$ のボレル＝ムーアホモロジーは純粋である。
• ランク $r$ と次数 $d$ の半安定ヒッグス層のスタックに対しても、$\gcd(r,d) = 1$ を仮定しないで純粋性の結果が成立し、ヒチンベース上に perverse フィルトレーションが誘導される。
• K3面上の連接層に関するカレディン＝レーン予想および、キューブィック4次超曲面やグーシュェル＝ムーカイ多様体におけるクズネツォフ成分への一般化は、フォーマリティを用いて再証明された。