[論文レビュー] Moment and tail estimates for martingales and martingale transform, with application to the martingale limit theorem in Banach spaces

E. Ostrovsky, L. Sirota|arXiv (Cornell University)|Jun 21, 2012

Stochastic processes and financial applications参考文献 56被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、マルティングール差分および予測可能乗数の無条件的モーメントおよび尾挙動を用いて、離散時間マルティングールおよびマルティングール変換の尾および分布に関する非漸近的指数的およびモーメント推定を確立する。主な貢献は、正規化マルティングール和 $ \left|n^{-1/2}S(n)\right|_p \leq (p-1) \left\{ n^{-1} \sum_{i=1}^n |\xi(i)|_p^2 \right\}^{1/2} $ の鋭い $ L(p) $-ノルム評価であり、定数を除いて正確であり、ブルクホルダー型不等式を一般化し、バナッハ空間における中心極限定理への応用を可能にする。

ABSTRACT

In this paper non-asymptotic exponential and moment estimates are derived for tail of distribution for discrete time martingale and martingale transform by means of martingale differences in the terms of moments and tails of distributions of summands and multipliers. We show also the exactness of obtained estimations and consider some applications in the theory of limit theorem for Banach space valued martingales.

研究の動機と目的

• マルティングール差分および予測可能乗数の $ L(p) $-ノルムおよび尾挙動を用いて、離散時間マルティングールおよびマルティングール変換の非漸近的モーメントおよび尾推定を導出すること。
• 明示的な定数を伴うより緊密な境界を提供することにより、特にブルクホルダーの結果および関連する既存の不等式を改善または一般化すること。
• 極値例を用いて、導出された推定が乗法的定数を除いて正確であることを示すこと。
• 推定を、バナッハ空間におけるマルティングール確率場の弱コンパクト性の十分条件および連続関数空間における中心極限定理への応用に適用すること。

提案手法

• ブルクホルダーの不等式の変種を用いてモーメント推定を導出し、元の定数 $ p\sqrt{2} $ を $ p-1 $ に置き換えることで、以前の境界を改善する。
• 正規化マルティングール和 $ n^{-1/2}S(n) $ に不等式を適用し、$ |\xi(i)|_p^2 $ の平均を用いた鋭い $ L(p) $-ノルム評価を導出する。
• $ p $-二次変動 $ <f>_{n,p} $ を $ \left\{ \sum_{i=1}^n \mathbb{E}[ |\xi^2(i)/F(i-1)|_p ] \right\}^{1/2} $ として定義し、ノルム比較を精緻化する。
• 不等式 $ \left|n^{-1/2}S(n)\right|_p \leq \tilde{K}(p) <f>_{n,p} $ における最適定数 $ \tilde{K}(p) $ を確立し、$ p \geq 2 $ に対して $ \tilde{K}(p) \asymp p / \log p $ であることを示す。
• 独立同一分布の対称確率変数からなる極値列を構成することで、下界に達する例を提示し、正確性を示す。
• 結果を、特に連続関数空間および確率積分に関するバナッハ空間における弱コンパクト性および中心極限定理への応用に適用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 和項および乗数の $ L(p) $-ノルムおよび尾挙動のみを用いて、マルティングールおよびマルティングール変換のより鋭いモーメント推定を導出可能か？
• RQ2 正規化マルティングール和の $ L(p) $-ノルム評価における最適定数は何か？ また、既存の不等式と比較するとどうなるか？
• RQ3 導出されたマルティングールのモーメントおよび尾推定は、乗法的定数を除いて正確か？ また、その正確性を達成する例は何か？
• RQ4 これらの推定を、バナッハ空間におけるマルティングール確率場の弱コンパクト性の十分条件を確立するためにどのように拡張できるか？
• RQ5 これらの結果を、連続時間または高階の設定における確率積分および複数のマルティングール変換に一般化できるか？

主な発見

• 本稿は、$ \left|n^{-1/2}S(n)\right|_p \leq (p-1) \left\{ n^{-1} \sum_{i=1}^n |\xi(i)|_p^2 \right\}^{1/2} $ の評価を確立し、以前の結果よりも緊密な定数 $ p-1 $ を用いることで改善している。
• この推定は乗法的定数を除いて鋭いことが示され、下界 $ C_1 p / \log p \leq \tilde{K}(p) \leq C_2 p / \log p $ が得られ、$ \tilde{K}(p) $ は $ p $-二次変動 $ <f>_{n,p} $ を含むノルム比較における最適定数である。
• 有限な $ p $-次モーメントを持つ独立同一分布の対称確率変数の列を用いて、下界に漸近的に達する例を提示し、正確性を示した。
• 結果は、マルティングール確率場の弱コンパクト性の十分条件の証明に応用され、連続関数空間における極限ガウス型確率場への収束を可能にする。
• フレームワークは、連続マルティングール上の確率積分および複数のマルティングール変換へと拡張可能であり、同様の原理により鋭いモーメントおよび尾推定が得られる。
• 本稿は、グランド・レベーグ空間への一般化を示唆しており、導出された不等式の強靭さおよび広範な応用可能性を示している。