[論文レビュー] Morphisms of CohFT algebras and quantization of the Kirwan map

Khoa Lu Nguyen, Chris Woodward+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 25, 2009

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 24被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、安定スケーリング付きマークド曲線のモジュライ空間上のコhomological類を用いて、A∞-代数の準同型の閉弦版として、コhomological field theory (CohFT) 代数の準同型を導入する。G-多様体の等置換量子コホモロジーからそのGIT商の量子コホモロジーへの量子キルワン準同型を構成し、境界ストラトの核条件と除数関係を用いてスケーリング付きマークド曲線のモジュライ空間におけるキャリアー除数を同定する。

ABSTRACT

We introduce a notion of morphism of CohFT algebras, based on the analogy with A-infinity morphisms. We discuss a "quantization" of the classical Kirwan morphism to a morphism of CohFT algebras from the equivariant quantum cohomology of a G-variety to the quantum cohomology of its git or symplectic quotient, and an example relating to the orbifold quantum cohomology of a compact toric orbifold. Finally we identify the space of Cartier divisors on the moduli space of scaled marked curves; these appear in the splitting axiom.

研究の動機と目的

• CohFT代数間の準同型の概念を、安定スケーリング付きマークド曲線のモジュライ空間上のコhomologicalデータを用いて形式化し、A∞-代数の準同型に類似したものとする。
• G-多様体の等置換量子コホモロジーからそのGIT商の量子コホモロジーへのCohFT代数の準同型、すなわち量子キルワン準同型を構成する。
• 安定スケーリング付きマークド曲線のモジュライ空間における境界除数の組み合わせが、どれがキャリアー（双対コホモロジー類をもつ）であるかを同定する。
• ゲージされたグロモフ＝ウィトテン理論におけるバブル・ボックス数の代数的枠組みを提供し、半正則なトーリック商を超えてミラー定理を拡張する。
• CohFT代数の分割公理とスケーリング付き曲線のモジュライ空間における除数関係との間の関係を確立する。

提案手法

• CohFT代数を、Sₙ作用に関して不変な多変数線形写像μⁿ: Vⁿ × H(ℳ̄ₙ₊₁, Λ) → V の族として定義し、境界除数類δ_{I₁∪I₂}を含む分割公理を満たす。
• 安定スケーリング付きマークド直線のモジュライ空間上のコホモロジー類に依存する構造写像を含む分割公理の拡張を通じて、CohFT代数の準同型を導入する。
• A∞-写像から得られる多重体の複素化（multiplihedron）を、CohFTのための安定スケーリング付きマークド直線のモジュライ空間の幾何的モデルとして用い、アソシアヘドロンの一般化とする。
• 前回の研究で得られた仮想基本類に依拠して、QH_G(X)からQH(X//G)へのCohFT代数の準同型として、量子キルワン準同型を構成する。
• 4項恒等式に基づく色付き木上の関係を用いて、境界除数写像tの核を分析することで、安定スケーリング付きマークド曲線のモジュライ空間におけるキャリアー除数を特徴付ける。
• Weil除数∑l_{I₁,…,Iᵣ}D_{I₁,…,Iᵣ}がキャリアーであるための必要十分条件として、その係数ベクトルが埋め込みπ_Γ: ker t_Γ → ker t の像の核に属することを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 CohFT代数間の準同型を定義するのに適切な代数的構造は何か？これは閉弦的文脈におけるA∞-準同型を一般化するものである。
• RQ2 古典的キルワン写像をCohFT代数の準同型へと量子化することは可能か？その幾何的・代数的構造は何か？
• RQ3 安定スケーリング付きマークド曲線のモジュライ空間における境界除数のどの組み合わせがキャリアーであるか？また、その特徴づけは代数的に可能か？
• RQ4 スケーリング付き曲線のモジュライ空間における除数関係は、境界除数写像tの核とどのように関係するか？
• RQ5 多重体（multiplihedron）は、CohFT代数の準同型および量子キルワン準同型の構造をどのように符号化するか？

主な発見

• 本稿では、安定スケーリング付きマークド直線のモジュライ空間上のコホモロジー類を含む分割公理の拡張を通じて、CohFT代数の準同型を定義し、A∞-準同型を一般化する。
• 量子キルワン準同型は、QH_G(X)からQH(X//G)へのCohFT代数の準同型として構成され、ゲージされたグロモフ＝ウィトテン理論におけるバブル・ボックス数の代数的枠組みを提供する。
• この準同型は、特別な場合にバチレフ風の表現を量子コホモロジーに回復し、コーエーツたちはの結果と整合的である。
• Weil除数∑l_{I₁,…,Iᵣ}D_{I₁,…,Iᵣ}がキャリアーであるための必要十分条件は、その係数ベクトルがすべての色付き木Γに対して、写像π_Γ: ker t_Γ → ker t の像に属することである。
• キャリアー除数の空間は、分割の長さに関する帰納法を用いて、ker t がすべての色付き木Γに対するπ_Γの像の整数的包みに含まれることを示すことによって特徴づけられる。
• 境界除数写像tの核は、色付き木上の4項関係によって生成され、長さ < r の分割に於いて消える関係は、r ≤ n−2 ならばすべての長さrの分割に対しても消える。特にr = n−1のとき、このような関係は自明である。