[論文レビュー] Motivic unipotent fundamental groupoid of $\mathbb{G}_{m} \setminus \mu_{N}$ for $N=2,3,4,6,8$ and Galois descents

Claire Glanois|arXiv (Cornell University)|Nov 18, 2014

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ひとこと要約

本稿では、Galois降下とGoncharovのコプロダクトを用いて、N = 2, 3, 4, 6, 8 に対して、単位根に関するモチーフ的多重ゼータ値の明示的基底を構成する。これは、混合テートモチーフの構造に関するDeligneの結果の新たな証明を提供し、モチーフ的反復積分を介して多重ゼータ値の生成族を提示する。また、フィルトレーションの各レベルにおける深さ2の関係についても明示的な公式を与える。

ABSTRACT

We study Galois descents for categories of mixed Tate motives over $\mathcal{O}_{N}[1/N]$, for $N\in \left\{2, 3, 4, 8 ight\}$ or $\mathcal{O}_{N}$ for $N=6$, with $\mathcal{O}_{N}$ the ring of integers of the $N^{ ext{th}}$ cyclotomic field, and construct families of motivic iterated integrals with prescribed properties. In particular this gives a basis of honorary multiple zeta values (linear combinations of iterated integrals at roots of unity $\mu_{N}$ which are multiple zeta values). It also gives a new proof, via Goncharov's coproduct, of Deligne's results: the category of mixed Tate motives over $\mathcal{O}_{k_{N}}[1/N]$, for $N\in \left\{2, 3, 4,8 ight\}$ is spanned by the motivic fundamental groupoid of $\mathbb{P}^{1}\setminus\left\{0,\mu_{N},\infty ight\}$ with an explicit basis. By applying the period map, we obtain a generating family for multiple zeta values relative to $\mu_{N}$.

研究の動機と目的

• Galois降下を用いて、混合テートモチーフの圏において、N ∈ {2, 3, 4, 6, 8} に対して、µN に関するモチーフ的多重ゼータ値（MMZV）の明示的基底を構成すること。
• Goncharovのコプロダクトを介した新たな証明を提供し、OkN[1/N] 上の混合テートモチーフのカテゴリが、P1 \ {0, µN, ∞} のモチーフ的基本群倣の生成するものであり、明示的基底を伴うことを示すこと。
• 構成されたモチーフ的基底に周期写像を適用することで、µN に関する多重ゼータ値の生成族を確立すること。
• Galois降下に対応するHN におけるモチーフ的フィルトレーション（レベル）を定義・計算し、各レベルに対して明示的基底と深さを提供すること。

提案手法

• GoncharovのコプロダクトとBrownによる拡張に基づく、モチーフ的多重ゼータ値上のコアクション ∆ を通じたGalois降下を用いる。
• 各降下 (kN/kN', M/M') に対して、HN におけるモチーフ的フィルトレーション F⌈_i を定義し、F⌈_0 はGalois群 GN/N′ による不変量に対応する。
• N に応じてレベル構造を有するMMZVµN の基底 BN を構成する：N=2 の場合、レベルは yi = 0 の個数に対応する。N=4 の場合、レベルは偶数の xi の個数、または xi=1 の個数に対応する。N=8 の場合、レベルには ǫi = -1 の個数が含まれる。
• 周期写像 per: HN → ZN を適用して、モチーフ的結果を具体的な多重ゼータ値に翻訳する。
• 微分作用素 D2r および D1◦D2r の作用を打ち消す線形結合を用いて、各 N および降下レベルにおける深さ2の基底を明示的に計算する。
• 再帰的構成と明示的係数 αa,b_k, βa,b, γx1,x2 を用いて、商 H≥i = H/Fi−1H におけるコアクションを消去する関係を定義する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 N ∈ {2, 3, 4, 6, 8} に対して、ON[1/N] 上の P1 \ {0, µN, ∞} のモチーフ的基本群倣の構造は何か？
• RQ2 混合テートモチーフの圏において、cyclotomic環上のGalois降下がモチーフ的枠組みでどのように明示的に実現できるか？
• RQ3 N に対して、明示的かつ完全な基底としての、µN に関するモチーフ的多重ゼータ値の基底と、明確なレベルフィルトレーションは何か？
• RQ4 コアクション ∆ および作用素 D2r, D1◦D2r は、モチーフ的フィルトレーションおよび各商における基底の構造をどのように決定するか？
• RQ5 周期写像を介して得られる、µN に関する対応する多重ゼータ値（MZV）の生成族は何か？

主な発見

• N=2 の場合、モチーフ的オイラー和の基底は、ζm(2y1+1,…,2yp+1; 1,…,1,−1) · (2πi)^s で与えられ、yi ≥ 0、s ≥ 0 であり、レベルは yi = 0 の個数に等しい。
• N=4 の場合、基底には ζm(x1,…,xp; 1,…,1,√−1) · (2πi)^s が含まれ、xi > 0 であり、レベルは降下 H2 に対して偶数の xi の個数、降下 H1 に対して偶数の xi の個数に加え xi=1 の個数に対応する。
• N=8 の場合、基底には ζm(x1,…,xp; ǫ1,…,ǫpξ) · (2πi)^s が含まれ、ǫi = ±1 であり、レベルには ǫi = -1 の個数が含まれる。
• 深さ2において、N=4 で偶数の n に対して、FkN/Q,P/1_1 Hn の基底は {ζm(2a+1,2b+1;1,ξ) − Σ αa,b_k ζm(n−2k,2k;1,ξ)} で与えられ、a,b ≥ 0 かつ (a,b) ≠ (0,0)。
• N=8 で奇数の n に対して、Fk8/Q,2/1_1 Hn の基底には、ζm(x1,x2;1,ξ) + ζm(x1,x2;−1,−ξ) + ζm(x1,x2;1,−ξ) + ζm(x1,x2;−1,ξ) から、係数 γx1,x2 = (−1)^x2 * binom(2r−1, 2r−x2) を持つ ζm(1,n−1;·) の線形結合を引いたものである。
• N=6 で偶数の重みに対して、Fk6/Q,P/1_1 Hn の深さ2基底は {ζm(2a+1,2b+1;1,ξ) − Σ αa,b_k ζm(n−2k,2k;1,ξ)} で与えられ、a,b > 0。