[論文レビュー] MSF and Connectivity in Limited Variants of the Congested Clique

Tomasz Jurdziński, Krzysztof Nowicki|arXiv (Cornell University)|Mar 8, 2017

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 12被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、ブロードキャストコンフリクトクリーク（範囲 r=1）における連結成分のための最初のサブ対数時間アルゴリズムを提示し、rcast(n,2)モデルにおける決定的MSFおよび確率的CCアルゴリズムの効率的実装を示す。通信容量を最適化しながら低ラウンド複雑性を維持し、範囲 r=2 が最小限のオーバーヘッドでほぼユニキャスト通信能力を実現できることを示している。

ABSTRACT

The congested clique is a synchronous, message-passing model of distributed computing in which each computational unit (node) in each round can send message of O(log n) bits to each other node of the network, where n is the number of nodes. This model has been considered under two extreme scanarios: unicast or broadcast. In the unicast model, a node can send (possibly) different message to each other node of the network. In contrast, in the broadcast model each node sends a single (the same) message to all other nodes. We study the congested clique model parametrized by the range r, the maximum number of different messages a node can send in one round. Following recent progress in design of algorihms for graph connectivity and minimum span- ning forest (MSF) in the unicast congested clique, we study these problems in limited variants of the congested clique. We present the first sub-logarithmic algorithm for connected components in the broadcast congested clique. Then, we show that efficient unicast deterministic algorithm for MSF and randomized algorithm for connected components can be efficiently imple- mented in the rcast model with range r = 2, the weakest model of the congested clique above the broadcast variant (r = 1) in the hierarchy with respect to range. More importantly, our al- gorithms give the first solutions with optimal capacity of communication edges, while preserving small round complexity.

研究の動機と目的

• コンフリクトクリークにおけるブロードキャスト（r=1）とユニキャスト（r=n）の間のギャップを埋めるために、有界範囲 r の中間的 rcast モデルを考察すること。
• 特に rcast(n,2) を含む、範囲制限付きのコンフリクトクリークの変種において、最小スパニングツリー（MSF）および連結成分（CC）のための効率的アルゴリズムを設計すること。
• これらのモデルにおいて、通信容量（エッジ容量）を最適化しながら、低ラウンド複雑性を維持すること。
• 分散グラフアルゴリズムにおける、適応性（ラウンド複雑性）と総通信容量のトレードオフを調査すること。

提案手法

• 範囲 r をパrameterとしてコンフリクトクリークモデルを定式化し、各ノードが1ラウンドあたり最大 r 個の異なるメッセージを送信できる rcast(n,r) モデルを定義する。
• マルチスケッチおよびローカル／グローバルブロードキャストプリミティブを用いて、エッジ容量を低く抑えながら、ネットワーク全体にわたるコンポーネントおよびメタエッジ情報の効率的拡散を実現する。
• 代表的集合とローカルノードの協調を用いて、ボルヴカのアルゴリズムをフェーズごとに実装し、最小限の通信量でコンポーネント間エッジを同定する。
• 各コンポーネント内で最小IDを持つノードがランダムに選択されたインシデントメタエッジを選択しブロードキャストすることで、通信オーバーヘッドを低く保つ確率的選択戦略を活用する。
• コンポーネントサイズが超指数関数的に増加する階層的分解を適用し、サブ対数時間収束を可能にする。
• 各ラウンドあたりのメッセージサイズをコンポーネントサイズに依存する対数要因で抑え、総エッジ容量が O(log n) であることを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ブロードキャストコンフリクトクリーク（r=1）において、連結成分は o(log n) ラウンドで計算可能か？
• RQ2 rcast(n,2) において、最適なエッジ容量と低ラウンド複雑性を満たす効率的MSFおよびCCアルゴリズムを実装可能か？
• RQ3 小規模な r に対する rcast モデルにおいて、ラウンド複雑性と総通信容量の関係は何か？
• RQ4 グラフ問題の計算能力という観点から、rcast(n,2) モデルはユニキャストモデルと比べてどのように異なるか？
• RQ5 ブロードキャストコンフリクトクリークにおいて、MSF や CC のサブ対数時間ラウンド複雑性を達成することは可能か？

主な発見

• 本稿は、ブロードキャストコンフリクトクリーク（r=1）における連結成分のための最初のサブ対数時間アルゴリズムを提示し、高確率で O(log* n) ラウンド複雑性を達成した。
• 決定的MSFアルゴリズム [11] の効率的実装が、rcast(n,2) において O(log n) の総エッジ容量と O(log* n) ラウンドで達成された。
• 確率的連結成分アルゴリズム [5] が、rcast(n,2) において最適なエッジ容量と低ラウンド複雑性を満たす形で実装された。
• 提案されたアルゴリズムの総エッジ容量は O(log n) であり、定数倍の誤差を除いて最適である。
• rcast(n,2) モデルは、ユニキャストと比較して通信容量を定数倍しか増やさずに、ほぼユニキャストの通信能力を実現でき、低ラウンド複雑性を維持している。
• 結果から、r=2 が効率的MSFおよびCCアルゴリズムを最適通信容量で実装するのに十分であり、ブロードキャストとユニキャストモデルのギャップを埋める上で重要な一歩であることが示された。