[論文レビュー] Multiple sine, multiple elliptic gamma functions and rational cones

Luigi Tizzano, Jacob Winding|arXiv (Cornell University)|Dec 19, 2014

Advanced Mathematical Identities参考文献 12被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、ℝʳにおける有理コーンによってラベル付けされた一般化された複数正弦関数および複数楕円的ガンマ関数を導入し、古典的関数を高次元に拡張する。r=2,3の場合、一般化された楕円的ガンマ関数はコーン構造に結びついたSL₃(ℤ)×ℤ³変換に対してモジュラー不変性を示すことが証明される。一方、一般化された正弦関数は、一般化されたベルヌーイ多項式とSL₃(ℤ)双対性変換を含む、コーンの1次元的側面を介した無限積因数分解を有する。

ABSTRACT

We define generalizations of the multiple elliptic gamma functions and the multiple sine functions, labelled by rational cones in $\mathbb{R}^r$. For $r=2,3$ we prove that the generalized multiple elliptic gamma functions enjoy a modular property determined by the cone. This generalizes the modular properties of the elliptic gamma function studied by Felder and Varchenko. The generalized multiple sine enjoy a related infinite product representation, generalizing the results of Narukawa for the ordinary multiple sine functions.

研究の動機と目的

• r次元の有理コーンCを用いて、標準的な状況を超えて複数正弦関数および複数楕円的ガンマ関数を一般化すること。
• r=2およびr=3における一般化された複数楕円的ガンマ関数のモジュラー性を確立し、FelderとVarchenkoによる通常の楕円的ガンマ関数のSL₃(ℤ)モジュラー性を拡張すること。
• 一般化された複数正弦関数S₂ᶜおよびS₃ᶜの無限積表現を導出し、コーンの1次元的側面を介して因数分解し、一般化されたベルヌーイ多項式を含めること。
• 一般化された複数ガンマ関数G₁ᶜおよびG₂ᶜの因数分解恒等式を証明し、各側面に関連するSL₃(ℤ)要素による変換を施した標準関数の積に等しいことを示すこと。
• これらの数学的構造が、コーンが背後にある時空幾何を符号化するトーリック多様体上の超対称ゲージ理論への物理的応用と結びつくこと。

提案手法

• r次元の1-ゴレンシュタイン有理コーンCを用いて、ℝʳにおける一般化された複数正弦関数Sᵣᶜおよび一般化された複数楕円的ガンマ関数Gᵣᶜを定義する。
• 特にr=2およびr=3の場合に、因数分解性を示すために、良いコーンおよびその分割の概念を用いる。
• 双対コーン内の格子点の和を用いて、一般化されたベルヌーイ多項式Bᵣ,ᵣᶜ(z|ω̲)を導入し、B₂,₂ᶜの明示的計算を行う。
• S₂ᶜおよびS₃ᶜの無限積表現を、コーンの1次元的側面ごとに積として構成する。各因子は標準的な複数正弦関数に類似した形であり、一般化されたベルヌーイ多項式の指数因子を含む。
• G₁ᶜおよびG₂ᶜのモジュラー不変性を証明する。コーンの幾何的構造に由来するSL₃(ℤ)作用の下での変換法則を示し、各側面に付随する双対性変換SおよびK_fを用いる。
• 逆S双対性を用いてG₂ᶜの代替的因数分解を導出し、得られたベルヌーイ多項式項が一般化されたB₃,₃ᶜに一致することを示し、一般化されたガンマ関数に対するモジュラー型恒等式を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 複数正弦関数および複数楕円的ガンマ関数を、単なる周期の集合ではなく、ℝʳ内の有理コーンCに依存させるにはどうすればよいか？
• RQ2 r=2およびr=3の場合に、一般化された複数楕円的ガンマ関数Gᵣᶜはコーン構造からどのようなモジュラー変換性を引き継ぐのか？
• RQ3 一般化された複数正弦関数Sᵣᶜは無限積として表現可能か？ もしそうならば、その因数分解構造はコーンの1次元的側面の観点からどのように構成されるか？
• RQ4 一般化されたベルヌーイ多項式Bᵣ,ᵣᶜは、Sᵣᶜの無限積表現およびGᵣᶜのモジュラー性とどのように関係するか？
• RQ5 超対称ゲージ理論の文脈において、コーンCの物理的意義は何か？ また、コーン構造はこれらの一般化関数を通じてどのように分配関数に現れるか？

主な発見

• 一般化された複数楕円的ガンマ関数G₂ᶜ(z|ω̲)は、コーンの各1次元的側面fに付随する変換行列K_fおよびSに対応するSL₃(ℤ)×ℤ³変換に対してモジュラー不変性を満たす。
• 良い1-ゴレンシュタイン3次元コーンCに対して、関数G₂ᶜは1次元的側面fごとの積に因数分解可能であり、各因子は標準G₂関数の変換(S⁻¹K_f)*G₂(z|ω̲)に等しく、さらに指数因子exp(−πi/12 B₄,₄ᶜ(z|ω̲,1))を含む。
• 一般化された複数正弦関数S₂ᶜ(z|ω̲)は、コーンの1次元的側面を介した無限積表現を持つ。各因子はその側面に関連する標準的複数正弦関数に類似した形であり、一般化されたベルヌーイ多項式B₂,₂ᶜの指数因子を含む。
• 一般化された複数正弦関数S₃ᶜ(z|ω̲)についても、S₂ᶜと同様の構造を持つ無限積表現が存在し、側面依存の複数正弦関数と一般化されたベルヌーイ多項式因子を含む。
• モジュラー型恒等式が証明された：exp(−πi/3 B₃,₃ᶜ(z|ω̲)) = ∏_f (SK_f)*G₁(z|ω̲)。これは、一般化されたベルヌーイ多項式B₃,₃ᶜがコーンの各側面を介した変換G₁関数の積と関係していることを示している。
• FelderとVarchenkoによる通常の楕円的ガンマ関数（G₁）のモジュラー性およびNarukawaによるGᵣの結果を、コーン構造を幾何的ラベルとして統合することで一般化した。