[論文レビュー] Multipliers and Riesz transforms for the Schr\"odinger operator with inverse-square potential

Rowan Killip, C. Miao+3 more|arXiv (Cornell University)|Mar 9, 2015

Advanced Mathematical Physics Problems参考文献 39被引用数 8

ひとこと要約

本稿は、シュレーディンガー作用素 $\mathcal{L}_a = -\Delta + a|x|^{-2}$ に対する $L^p$-乗数定理を確立し、$a \geq 0$ のとき $1 < p < \infty$ で有界性を証明するとともに、$a < 0$ の場合の鋭い $p$-範囲を特定する。さらに、$0 < s < 2$ の範囲で $\mathcal{L}_a^{s/2}$ と $(-\Delta)^{s/2}$ を用いて定義されるソボレフ空間の同値性を特徴づけ、リトルウッド＝パイル理論およびハーディ型不等式への応用を含む。

ABSTRACT

We study the $L^p$-theory for the Schr\odinger operator $\mathcal L_a$ with inverse square potential $a|x|^{-2}$. Our first main result is an analogue of the Mikhlin Multiplier Theorem in this setting. When $a\geq 0$, the heat kernel obeys Gaussian bounds and so previous work yields the validity of this theorem for all $1<p<\infty$. When $a<0$, we show that such multipliers are bounded for a smaller range of $p$ and show that our restrictions on $p$ are sharp. Our second main result describes when $L^p$-based Sobolev spaces defined in terms of the operator $(\mathcal L_a)^{s/2}$ agree with those defined via $(-\Delta)^{s/2}$. We consider all regularities $0<s<2$. As offshoots of this analysis, we also discuss Littlewood-Paley theory and Hardy-type inequalities associated to the operator $\mathcal L_a$.

研究の動機と目的

• シュレーディンガー作用素 $\mathcal{L}_a = -\Delta + a|x|^{-2}$ に対して、古典的乗数理論を $L^p$ 空間に拡張すること。
• ポテンシャルパラメータ $a < 0$ の場合に $\mathcal{L}_a$-乗数が $L^p$ で有界となる $p$ の範囲を特定し、その境界の鋭さを証明すること。
• $0 < s < 2$ の範囲で、$\mathcal{L}_a^{s/2}$ と $(-\Delta)^{s/2}$ を用いて定義されるソボレフ空間 $W^{s,p}_{\mathcal{L}_a}$ と $W^{s,p}_{-\Delta}$ が一致する $p$ および $s$ の条件を特徴づけること。
• 作用素 $\mathcal{L}_a$ に関連するリトルウッド＝パイル理論を構築し、ハーディ型不等式を導出すること。

提案手法

• $a \geq 0$ の場合、ガウス型の熱核推定を用いて、古典的乗数理論への拡張を可能にする。
• スペクトル理論および関数解析的計算を用いて、作用素 $\mathcal{L}_a$ 及びそのべき $\mathcal{L}_a^{s/2}$ を分析すること。
• 負の $a$ に対する作用素のスペクトル測度の振る舞いと、$L^p$-有界性に与える影響を分析すること。
• 補間および実補間技法を用いて、$\mathcal{L}_a^{s/2}$ と $(-\Delta)^{s/2}$ を用いて定義されるソボレフノルムの比較を行うこと。
• スペクトル射影および階層的周波数局在化を用いて、作用素 $\mathcal{L}_a$ に適したリトルウッド＝パイル分解を導出すること。
• 逆2乗ポテンシャルの構造を活用し、原点付近および無限遠における $\mathcal{L}_a$ の振る舞いを分析することで、ハーディ型不等式を確立すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $a < 0$ の場合に、$\mathcal{L}_a$ に対してミハイルン型乗数定理が成立する $p$ は何か？
• RQ2 負の $a$ の場合に $\mathcal{L}_a$-乗数が $L^p$ で有界となる鋭い $p$-範囲は何か？
• RQ3 $s \in (0,2)$ のどの値に対して、$W^{s,p}_{\mathcal{L}_a}$ と $W^{s,p}_{-\Delta}$ が一致するか？
• RQ4 逆2乗ポテンシャルはリトルウッド＝パイル分解および関連する平方関数にどのように影響を与えるか？
• RQ5 $\mathcal{L}_a$ のスペクトル的性質から導かれるハーディ型不等式は何か？

主な発見

• $a \geq 0$ のとき、ガウス型熱核推定により、すべての $1 < p < \infty$ でミハイルン乗数定理が成り立つ。
• $a < 0$ のとき、乗数定理は制限された $p$-範囲でのみ成り立ち、その範囲は反例または極限挙動の分析により鋭いことが示される。
• 絶対値が十分に小さい $a$ の場合、$\mathcal{L}_a^{s/2}$ と $(-\Delta)^{s/2}$ を用いて定義されるソボレフ空間は同値であるが、その同値性は $a$ の大きさに依存する。
• 作用素 $\mathcal{L}_a$ に対するリトルウッド＝パイル理論が構築され、$a$ および $p$ に関する適切な条件下で、平方関数が $L^p$ ノルムと同値であることが示される。
• 逆2乗ポテンシャルの影響を反映したハーディ型不等式が導出され、最適定数は $a$ に依存する。
• 負の $a$ の場合の $p$-範囲の鋭さは、その範囲外では乗数作用素が有界でないことを示すことによって確立される。