[論文レビュー] Nagata-Assouad dimension via Lipschitz extensions

N. Brodskiy, Jerzy Dydak+2 more|ArXiv.org|Jan 10, 2006

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 17被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、リーマン・エクステンション性質を通じてナガタ＝アッソウド次元を特徴づけるものであり、距離空間がナガタ＝アッソウド次元を高々 $n$ 以下にもつことと、$n$-球面 $S^n$ がその空間のリーマン拡張子であることの同値性を示している。著者らは、リーマン圏における微小および巨視的関手を導入し、漸近次元、容量次元、ナガタ＝アッソウド次元を関連づけ、また、有限ナガタ＝アッソウド次元が、一点境界をもち、制御されたナガタ次元をもつ粗的双曲的距離の存在と同値であることを証明している。

ABSTRACT

In the first part of the paper we show how to relate several dimension theories (asymptotic dimension with Higson property, asymptotic dimension of Gromov, and capacity dimension of Buyalo \cite{Buyalo1}) to Nagata-Assouad dimension. This is done by applying two functors on the Lipschitz category of metric spaces: microscopic and macroscopic. In the second part we identify (among spaces of finite Nagata-Assouad dimension) spaces of Nagata-Assouad dimension at most $n$ as those for which the $n$-sphere $S^n$ is a Lipschitz extensor. Large scale and small scale analogs of that result are given.

研究の動機と目的

• 異なる次元理論（特に漸近次元、容量次元、ナガタ＝アッソウド次元）を、リーマン圏の関手の観点から統一的かつ関連づけること。
• 球面 $S^n$ のリーマン拡張性質を用いて、有限ナガタ＝アッソウド次元を特徴づけること。
• 粗的同値な双曲的距離を用いて、漸近次元をナガタ＝アッソウド次元の観点から粗的幾何学的に特徴づけること。
• 微小および巨視的関手を用いて、小スケール（容量次元）と大スケール（漸近次元）の次元理論の双対性を形式化すること。

提案手法

• 距離空間のリーマン圏に、微小および巨視的関手を導入し、小スケールと大スケールの次元理論を関連づける。
• リーマン拡張性質を用いる：$\dim_{NA}(X) < \infty$ の条件下で、空間 $X$ がナガタ＝アッソウド次元を高々 $n$ 以下にもつことと、$S^n$ が $X$ のリーマン拡張子であることの同値性を示す。
• 有界な重複度、メッシュ、レブゴー数をもつ被覆によるナガタ＝アッソウド次元の特徴づけを応用し、制御されたナガタ次元をもつ双曲的距離を構成する。
• 非有界距離空間 $X$ に、$\text{dim}_{NA}(X,d_h) \leq n$ かつ Gromov境界 $\partial_{\infty}X$ が一点であるような粗的双曲的距離 $d_h$ を構成する。
• 基点への距離の差を評価し、$\pm1$ の境界を用いた三角不等式を適用することで、Gromov積が双曲的条件を満たすことを証明する。
• 粗的同値性が、漸近次元 $\leq n$ とナガタ＝アッソウド次元 $\leq n$ の同値性を適切な距離変換のもとで保存することを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 球面のリーマン拡張性質を用いて、ナガタ＝アッソウド次元をどのように特徴づけられるか。
• RQ2 リーマン圏の関手の観点から、漸近次元、容量次元、ナガタ＝アッソウド次元の関係は何か。
• RQ3 粗的幾何学と双曲的距離を用いて、漸近次元をナガタ＝アッソウド次元を用いて特徴づけられるか。
• RQ4 球面 $S^n$ のリーマン拡張性質が、有限ナガタ＝アッソウド次元を示すための条件は何か。
• RQ5 $S^n$ がリーマン拡張子である性質は、空間の和集合においても保存されるか。

主な発見

• 距離空間 $X$ がナガタ＝アッソウド次元を高々 $n$ 以下にもつことと、$S^n$ が $X$ のリーマン拡張子であることの同値性が、$\dim_{NA}(X) < \infty$ の条件下で成り立つ。
• $S^n$ が $X$ のリーマン拡張子であることと、$\dim_{NA}(X) \leq n$ であることは同値であり、有限ナガタ＝アッソウド次元が拡張性質を通じて完全に特徴づけられる。
• 空間の容量次元はナガタ＝アッソウド次元の微小版であり、バイアロの容量次元理論の結果は、微小関手を用いてラングとシュリッヒェンマイヤーのナガタ＝アッソウド理論から形式的に導出可能である。
• 非有界距離空間 $X$ に対して、漸近次元 $\leq n$ であることと、$\dim_{NA}(X,d_h) \leq n$ かつ Gromov境界 $\partial_{\infty}X$ が一点であるような粗的同値な双曲的距離 $d_h$ の存在とは同値である。
• $d_h$ の構成により、$(X,d_h)$ の任意の三角形について、$a \geq b \geq c$ である辺 $a,b,c$ に対して $a \leq b+1$ が成り立ち、これは一様定数をもつGromov双曲的性質を示唆する。
• Gromov積は $ (x|z) \geq \min((x|y),(y|z)) - 4 $ を満たし、これは双曲的性質を確認する。また、列が発散する場合には境界が一点であることが保証される。