[論文レビュー] Nef divisors on $\bar{M}_{0,n}$ from GIT

Valery Alexeev, David Swinarski|arXiv (Cornell University)|Dec 3, 2008

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 10被引用数 13

ひとこと要約

本稿は、モジュライ空間 $\overline{M}_{0,n}$ 上のGIT錐 $\mathbf{GC}$ を導入し、$SL(2)$ によるGIT商 $(\mathbb{P}^1)^n//SL(2)$ からの自然な正則ラインバンドルの引き戻しによって生成されるものであり、それらの $F$-曲線との交差に対して明示的な公式を提供する。この研究は、これらのラインバンドルが、Simpsonの対数正則モデルを重み付き安定曲線 $\overline{M}_{0,\beta}$ または対称GIT商として実現することを証明し、$S_n$-同変 Fulton予想に依存せずに結果を得ることに成功する。

ABSTRACT

We introduce and study the GIT CONE of $\bar{M}_{0,n}$, which is generated by the pullbacks of the natural ample line bundles on the GIT quotients $(\mathbb P^1)^n//SL(2)$. We give an explicit formula for these line bundles and prove a number of basic results about the GIT cone. As one application, we prove unconditionally that the log canonical models of $\bar{M}_{0,n}$ with a symmetric boundary divisor coincide with the moduli spaces of weighted curves or with the symmetric GIT quotient, extending the result of Matt Simpson arXiv:0709.4037. (Cf. also a different proof by Fedorchuk and Smyth arXiv:0810.1677)

研究の動機と目的

• $\overline{M}_{0,n}$ のネフ錐内に、$SL(2)$-作用のラインバンドルの引き戻しによって生成されるGIT錐 $\mathbf{GC}$ を定義・研究すること。
• これらのラインバンドルと $F$-曲線との交差に対して明示的な公式を提供し、GIT錐の有限生成性を可能にする。
• これらのラインバンドルの対称和によって生成される対称GIT錐 $\mathbf{SGC}$ が、対称ネフ錐よりも厳密に小さいことを示すこと。
• $S_n$-同変 Fulton予想に依存せずに、$\overline{M}_{0,n}$ の対称境界 divisor を持つ対数正則モデルに関するSimpsonの結果を再証明すること。
• GITラインバンドルとコンフォーマルブロックバンドルとの間の関係を確立し、すべての $L_{{\mathbf{x}}}$ がコンフォーマルブロックバンドルの行列式として現れることを示すこと。

提案手法

• 各 $i$ に対して $0 < x_i \leq 1$ かつ $\sum x_i = 2$ を満たす有理数ベクトル $\mathbf{x} \in \mathbb{Q}^n$ を定義し、$(\mathbb{P}^1)^n$ 上の $SL(2)$-作用の線形化をパrametrizeする。
• $(\mathbb{P}^1)^n//_{\mathbf{x}}SL(2)$ 上のラインバンドル $\mathcal{L}_{{\mathbf{x}}}$ を、その線形化から降下する特徴的な正則ラインバンドルとして構成する。
• 双有理な射 $\pi_{{\mathbf{x}}}: \overline{M}_{0,n} \to (\mathbb{P}^1)^n//_{\mathbf{x}}SL(2)$ を介して $\mathcal{L}_{{\mathbf{x}}}$ を引き戻し、$L_{{\mathbf{x}}} = \pi_{{\mathbf{x}}}^* \mathcal{L}_{{\mathbf{x}}}$ を定義する。$x_i < 1$ であれば $L_{{\mathbf{x}}}$ はネフ的かつビッグである。
• $L_{{\mathbf{x}}} \cdot F_{a,b,c,d}$ である $F$-曲線との交差に対して明示的な公式を導出し、GIT錐の極点を特定する。
• $S_n$-作用を用いて対称ラインバンドル $S_{{\mathbf{x}}} = \bigotimes_{\sigma \in S_n} L_{\sigma \mathbf{x}}$ を定義し、対称GIT錐 $\mathbf{SGC}$ を研究する。
• Simpsonの divisor $A_\alpha$ を $L_{{\mathbf{x}}}$ の有効な組み合わせとして表現し、それらのネフ性を条件なしに証明するとともに、$\overline{M}_{0,\beta}$ 上での正則性を示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 対称境界 divisor を持つ $\overline{M}_{0,n}$ の対数正則モデルは、$S_n$-同変 Fulton予想を仮定せずに、重み付き安定曲線 $\overline{M}_{0,\beta}$ または対称GIT商として実現可能か？
• RQ2 GITラインバンドル $L_{{\mathbf{x}}}$ と $\overline{M}_{0,n}$ 内の $F$-曲線との正確な交差理論は何か？ そして、これによりGIT錐の構造がどのように特定されるか？
• RQ3 対称GIT錐 $\mathbf{SGC}$ と完全な対称ネフ錐との関係は何か？ また、$\mathbf{SGC}$ は対称ネフ錐のすべての極点を捉えているか？
• RQ4 Simpsonの divisor $A_\alpha$ は $L_{{\mathbf{x}}}$ の有効な組み合わせとして表現可能か？ これにより、$S_n$-同変 Fulton予想に依存せずにネフ性が証明可能か？
• RQ5 GITラインバンドル $L_{{\mathbf{x}}}$ と $\overline{M}_{0,n}$ 上のコンフォーマルブロックバンドルとの関係は何か？ すべての $L_{{\mathbf{x}}}$ がコンフォーマルブロックバンドルの行列式として現れるか？

主な発見

• 本稿は、$L_{{\mathbf{x}}}$ と各 $F$-曲線との交差に対して明示的な公式を提供し、これによりGIT錐 $\mathbf{GC}$ の 0-セルを用いた有限生成性が可能になる。
• $n \geq 6$ の場合、GIT錐 $\mathbf{GC}$ は $\overline{M}_{0,n}$ の完全なネフ錐よりも厳密に小さいことが示され、$L_{{\mathbf{x}}}$ がモーリー理論全体を生成しないことが示唆される。
• 対称GIT錐 $\mathbf{SGC}$ は対称ネフ錐よりも厳密に小さいことが示され、$L_{{\mathbf{x}}}$ の対称和がすべての対称ネフ divisor を捉えていないことが示される。
• Simpsonの divisor $A_\alpha$ が $L_{{\mathbf{x}}}$ の有効な組み合わせとして表現可能であることが示され、$S_n$-同変 Fulton予想に依存せずにネフ性が証明され、$\overline{M}_{0,\beta}$ 上での正則性も示される。
• $\overline{M}_{0,8}$ 上のラインバンドル $V(\frac{1}{6},8)$ が $F_{2,2,2,2}$ 曲線上でゼロであるが、任意の対称 $\pi_\beta$ によっても収縮されないことが示され、このラインバンドルがいかなる $\overline{M}_{0,\beta}$ に対しても正則でないことが示される。これにより、$V(\frac{1}{6},8)$ がすべての $\overline{M}_{0,\beta}$ 上で正則でないことが示される。
• すべての $L_{{\mathbf{x}}}$ がコンフォーマルブロックバンドルの倍数として特定される：具体的には、$\mathbf{x} = \frac{1}{\ell+1} \vec{\lambda}$ のとき $L_{{\mathbf{x}}}$ は $\det \mathbb{V}(\mathfrak{sl}_2, \ell, \vec{\lambda})$ の倍数であり、$x_i = \frac{y_i}{\ell+1}$ のとき $L_{{\mathbf{x}}}$ は $\mathbb{V}(\mathfrak{sl}_{\ell+1}, 1, \vec{\lambda})$ の倍数である。