[論文レビュー] Negative curves on surfaces and applications to hermitian locally symmetric spaces

Ted Chinburg, Matthew Stover|arXiv (Cornell University)|May 5, 2011

Algebraic Geometry and Number Theory被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、体 k 上の曲面 S が十分に多くの自己交わりが負である曲線を含むならば、そのような曲線の有効な組み合わせのうち、ある2つの曲線が正の自己交わりを持つことを確立している。複素数体 ℂ 上では、これにより基本群の像が有限であり、アーベル関数の分解が曲線の正規化のジュリアンの直和を通じて得られ、上半平面の積または複素双曲平面によって均質化されるヘルミート型局所対称空間への応用が得られる。

ABSTRACT

Let $S$ be a smooth projective surface over a field $k$. In this paper we show that if $\mathcal{F}$ is a set of irreducible curves on $S$ such that sufficiently many curves in $\mathcal{F}$ have negative self-intersection, then there exist two curves $C_1, C_2 \in \mathcal{F}$ and integers $a, b\ge 1$ such that the effective divisor $a C_1 + b C_2$ has positive self-intersection. When $k = \mathbb{C}$, this implies that the image of the map $\pi_1(C_1 \cup C_2) o \pi_1(S)$ of topological fundamental groups has finite index and that the Albanese variety of $S$ is a quotient of the direct sum of the Jacobians of the normalizations of $C_1$ and $C_2$. We then give some applications of these results to the geometry of smooth projective surfaces uniformized by either the product of two upper half planes or the complex hyperbolic plane.

研究の動機と目的

• 滑らかで射影的な曲面に多くの負の自己交わりを持つ曲線が存在するときの幾何学的・位相的帰結を理解すること。
• 自己交わりが負である曲線の存在が、曲面の基本群およびアーベル多様体に与える影響を調査すること。
• これらの結果を、2つの上半平面の積または複素双曲平面によって均質化される曲面に適用すること。
• 曲線の配置と、曲線の正規化のジュリアンを介したアーベル多様体の構造との間の関係を確立すること。

提案手法

• 体 k 上の滑らかで射影的な曲面 S 上の既約曲線の交わり理論を分析する。
• 集合 F 内の曲線の自己交わりの数とその負の程度に基づく基準を適用し、2つの曲線 C₁, C₂ および正の整数 a, b が存在して (aC₁ + bC₂)² > 0 となることを示す。
• k = ℂ の場合、位相的およびホッジ論的議論を用いて、写像 π₁(C₁ ∪ C₂) → π₁(S) の像が π₁(S) において有限指数を持つことを示す。
• アーベル多様体の理論を適用し、Alb(S) が C₁ および C₂ の正規化のジュリアンの直和の商であることを示す。
• 一般論を、2つの上半平面の積または複素双曲平面によって均質化されるヘルミート型局所対称空間に適用する。
• 交わり理論および代数的表面の基本群の構造に関する基礎的結果に依拠する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 曲面 S 上の自己交わりが負である曲線の集合に対して、どのような条件下で、そのうち2つの曲線の正の組み合わせが正の自己交わりを持つようになるか？
• RQ2 2つの負の曲線の和集合の基本群の像が、曲面の基本群において有限指数を持つとき、どのような位相的帰結が生じるか？
• RQ3 曲面のアーベル多様体は、自己交わりが負である2つの曲線の正規化のジュリアンとどのように関係するか？
• RQ4 これらの結果が、2つの上半平面の積または複素双曲平面によって均質化される曲面にどのような幾何学的制約を課えるか？
• RQ5 アーベル多様体の構造は、曲面の負の曲線の幾何学から回復可能か？

主な発見

• 曲面 S 上の集合 F に属する曲線が十分に多く、自己交わりが負であるならば、F に属する2つの曲線 C₁, C₂ および整数 a, b ≥ 1 が存在し、有効な被約 aC₁ + bC₂ が正の自己交わりを持つ。
• ℂ 上では、写像 π₁(C₁ ∪ C₂) → π₁(S) の像が π₁(S) において有限指数を持つ。
• S のアーベル多様体は、C₁ および C₂ の正規化のジュリアンの直和の商である。
• これらの結果は、2つの上半平面の積または複素双曲平面によって均質化される滑らかで射影的な曲面に適用可能である。
• このような曲線配置の存在は、特にヘルミート型局所対称空間の文脈において、曲面の位相的および幾何学的構造に強く制約を課す。
• これらの結果は、曲線の代数的幾何学と基本群およびアーベル多様体のグローバル構造との間の深い関係を示している。