[论文解读] New entropy for Korteweg's system, existence of global weak solution and Prodi-Serrin theorem

Boris Haspot|arXiv (Cornell University)|Feb 26, 2011

Navier-Stokes equation solutions参考文献 38被引用 8

一句话总结

本文为Korteweg毛细流体系统引入了一种新的有效速度与熵结构，使得全局弱解的存在性得以证明，并获得了更精细的Prodi-Serrin型爆破准则。通过利用Besov空间估计与Korteweg张量的创新分解，作者建立了密度与速度的强紧致性与改进的正则性，从而扩展了关于带毛细力的可压缩Navier-Stokes系统的先前结果。

ABSTRACT

This work is devoted to prove new entropy estimates for a general isothermal model of capillary fluids derived by J.E Dunn and J.Serrin (1985) (see \cite{fDS}), which can be used as a phase transition model. More precisely we will derive new estimates for the density and we will give a new structure for the Korteweg system which allow us to obtain the existence of global weak solution. The key of the proof comes from the introduction of a new effective velocity.The proof is widely inspired from the works of A. Mellet and A. Vasseur (see \cite{fMV}). In a second part, we shall give a Prody-Serrin blow-up criterion for this system which widely improves the results of \cite{Hprepa} and the known results on compressible systems.

研究动机与目标

• 为带毛细力的等温Korteweg系统建立全局弱解的存在性，扩展经典可压缩Navier-Stokes方程的结果。
• 在扩散界面模型背景下，推导新的密度熵估计，以改善紧致性与正则性。
• 引入一种新的有效速度变量，简化动量方程并实现更强的先验估计。
• 为Korteweg系统提供一个改进的Prodi-Serrin型爆破准则，优于现有可压缩流体结果。
• 将Korteweg张量重新表述为密度对数梯度的形式，揭示一种新的黏性结构，有助于能量估计。

提出的方法

• 引入新的有效速度 $ v = u + \frac{\kappa}{\mu} \nabla \ln \rho $，将动量方程转化为适合能量估计与Besov空间估计的形式。
• 通过分析 $ \nabla \sqrt{\rho} \in L^\infty_T(L^2) $ 推导新的熵估计，从而控制 $ \ln \rho \in L^\infty_T(\dot{B}^{1}_{N+\epsilon,\infty}) $。
• 在Besov空间中使用抛积与Bernstein型估计，控制 $ \nabla \ln \rho \in L^\infty_T(B^{0}_{N+\epsilon,\infty}) $，确保存在性所需的足够正则性。
• 将Korteweg张量重写为 $ \mathrm{div} K = \kappa \, \mathrm{div}(\rho \nabla \nabla \ln \rho) = \kappa \, \mathrm{div}(\rho D(\nabla \ln \rho)) $，揭示其黏性结构。
• 应用重整化解理论与振荡缺陷测度方法，处理压强项 $ a\rho^\gamma $ 的极限过程，确保弱解收敛。
• 通过初值在 $ B^{0}_{N+\epsilon,\infty} \times \dot{B}^{1}_{N+\epsilon,\infty} $ 中的亚临界性建立爆破准则，得到存在时间 $ T' \geq C(1 + \|u_0\|_{B^{0}_{N+\epsilon,\infty}} + \|\ln \rho_0\|_{B^{1}_{N+\epsilon,\infty}})^{-\beta} $。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否构造一种新的有效速度变量，以改善Korteweg系统中紧致性与正则性估计？
• RQ2 如何重写Korteweg张量以揭示一种有助于能量与熵估计的黏性结构？
• RQ3 对于密度 $ \rho $，可推导出哪些新的熵估计，以确保压强项在 $ L^p_{\text{loc}} $ 中的强紧致性？
• RQ4 能否利用Besov空间正则性与亚临界初值，改进Korteweg系统中Prodi-Serrin型爆破准则？
• RQ5 新熵结构在多大程度上允许毛细流体模型中全局弱解的存在？

主要发现

• 作者在亚临界Besov空间中的一般初值下，为Korteweg系统证明了全局弱解的存在性，其中 $ \kappa(\rho) = \kappa \rho^\alpha $，$ \alpha > 0 $。
• 引入新的有效速度 $ v = u + \frac{\kappa}{\mu} \nabla \ln \rho $，该变量使动量方程解耦，从而实现对 $ u $ 与 $ \ln \rho $ 更强的估计。
• Korteweg张量被重写为 $ \mathrm{div} K = \kappa \, \mathrm{div}(\rho \nabla \nabla \ln \rho) $，揭示出类似黏性的结构，有助于能量估计。
• 证明了 $ \nabla \ln \rho \in L^\infty_T(B^{0}_{N+\epsilon,\infty}) $ 与 $ u \in L^\infty_T(B^{0}_{N+\epsilon,\infty}) $，为爆破准则提供了关键正则性。
• 证明了一个新的Prodi-Serrin型爆破准则：若 $ u_0 \in B^{0}_{N+\epsilon,\infty} $ 且 $ \ln \rho_0 \in B^{1}_{N+\epsilon,\infty} $，则解全局存在，且 $ T' \geq C(1 + \|u_0\|_{B^{0}_{N+\epsilon,\infty}} + \|\ln \rho_0\|_{B^{1}_{N+\epsilon,\infty}})^{-\beta} $。
• 该方法优于先前结果，避免了如 $ \rho \in L^2_{\text{loc}} $ 等假设，转而依赖于对数密度正则性与临界Besov空间中的抛积估计。