[論文レビュー] New fractional integral unifying six existing fractional integrals

Udita N. Katugampola|arXiv (Cornell University)|Dec 22, 2016

Fractional Differential Equations Solutions参考文献 20被引用数 49

ひとこと要約

本稿では、パラメータ $\rho$, $\alpha$, $\beta$, $\eta$, $\kappa$ を用いて、リーマン＝リウビル、ハダマール、エレデリ＝コーバー、カトゥガンポラ、ヴェイル、リウビルの6つの既存の分数階積分を統一する新しい一般化された分数階積分を導入する。主な貢献は、特定のパラメータ選択のもとで各古典的演算子に還元可能な統一された積分形式であり、半群性、有界性、シフト性、部分積分に関する性質が証明されている。

ABSTRACT

In this paper we introduce a new fractional integral that generalizes six existing fractional integrals, namely, Riemann-Liouville, Hadamard, Erdélyi-Kober, Katugampola, Weyl and Liouville fractional integrals in to one form. Such a generalization takes the form \[ \left({}^ρ\mathcal{I}^{α, β}_{a+;η, κ}f ight)(x)=\frac{ρ^{1-β}x^κ}{Γ(α)}\int_a^x \frac{τ^{ρη+ρ-1}}{(x^ρ-τ^ρ)^{1-α}}f(τ) ext{d}τ, \quad 0\leq a < x < b \leq \infty. \] A similar generalization is not possible with the Erdélyi-Kober operator though there is a close resemblance with the operator in question. We also give semigroup, boundedness, shift and integration-by-parts formulas for completeness.

研究の動機と目的

• リーマン＝リウビル、ハダマール、エレデリ＝コーバー、カトゥガンポラ、ヴェイル、リウビルの6つの既存の分数階積分を、1つの一般化された演算子に統一すること。
• 有界性、半群性、シフト性、部分積分に関する性質を含む、一般化された分数階積分の包括的フレームワークを確立すること。
• 新しい演算子が特定のパラメータの極限において、既知の古典的分数階積分に還元されることを示すこと。
• 近い将来の研究で提示される予定の、6つの古典的分数階微分を統一する対応する一般化された分数階微分の基礎を提供すること。

提案手法

• 一般化された左側分数階積分を提案する：$\left({}^{\rho}I^{\alpha,\beta}_{a+;\eta,\kappa}f\right)(x) = \frac{\rho^{1-\beta}x^{\kappa}}{\Gamma(\alpha)}\int_a^x \frac{\tau^{\rho(\eta+1)-1}}{(x^{\rho}-\tau^{\rho})^{1-\alpha}} f(\tau)\,d\tau$。
• 変数変換 $u = (\tau/x)^\rho$ を導出し、積分をリーマン＝リウビル型の形に表現する：$\left({}^{\rho}I^{\alpha,\beta}_{a+;\eta,\kappa}f\right)(x) = \frac{x^{\kappa+\rho(\alpha+\eta)}}{\rho^{\beta}\Gamma(\alpha)}\int_0^1 (1-u)^{\alpha-1} u^{\eta} f(xu^{1/\rho})\,du$。
• 極限 $\rho \to 0^+$ とロピタルの定理を用いて、$\kappa=0$, $\beta=\alpha$ のとき、演算子がハダマール積分に還元されることを示す。
• 半群性を確立する：${}^{\rho}I^{\alpha_1,\beta_1}_{a+;\eta_1,\kappa_1} \circ {}^{\rho}I^{\alpha_2,\beta_2}_{a+;\eta_2,-\rho\eta_1} f = {}^{\rho}I^{\alpha_1+\alpha_2,\beta_1+\beta_2}_{a+;\eta_2,\kappa_1} f$。
• 一般化された部分積分公式を証明する：$\int_a^b x^{\rho-1} f(x) \left({}^{\rho}I^{\alpha,\beta}_{a+;\eta,\kappa}g\right)(x) dx = \int_a^b x^{\rho-1} g(x) \left({}^{\rho}I^{\alpha,\beta}_{b-;\eta,\kappa}f\right)(x) dx$。
• 一般化された積分の右側バージョンを導入し、その性質を議論する。ただし、追加のパラメータ $\omega$ を含むより一般な形は、より複雑な結果をもたらす。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 リーマン＝リウビル、ハダマール、エレデリ＝コーバー、カトゥガンポラ、ヴェイル、リウビルの6つの古典的分数階積分を一般化する1つの分数階積分演算子を構築できるか？
• RQ2 新しい一般化された積分におけるどのパラメータの選択が、それぞれの6つの古典的分数階積分に還元するか？
• RQ3 新しい演算子は、半群性、有効性、シフト性、部分積分性といった基本的性質を満たすか？
• RQ4 新しい演算子は、$\rho \to 0^+$ の極限における既知のハダマール積分と整合的か？
• RQ5 新しい演算子は、統一された分数階微分理論の基礎として機能できるか？

主な発見

• 一般化された分数階積分 $\left({}^{\rho}I^{\alpha,\beta}_{a+;\eta,\kappa}f\right)(x)$ は、パラメータの特殊化により6つの古典的分数階積分を統一する。
• $\rho=1$, $\eta=0$, $\kappa=0$ のとき、演算子はリーマン＝リウビル分数階積分に還元される。
• $\beta=\alpha$ のとき、演算子はカトゥガンポラ分数階積分に還元される。
• 極限 $\rho \to 0^+$ において $\kappa=0$, $\beta=\alpha$ とすると、ロピタルの定理を用いてハダマール分数階積分が得られる。
• $\beta=0$, $\kappa = -\rho(\alpha + \eta)$ のとき、演算子はエレデリ＝コーバー型積分に還元される。
• 半群性が成り立つ：適切な条件下で $\left({}^{\rho}I^{\alpha_1,\beta_1}_{a+;\eta_1,\kappa_1} \circ {}^{\rho}I^{\alpha_2,\beta_2}_{a+;\eta_2,-\rho\eta_1}\right)f = {}^{\rho}I^{\alpha_1+\alpha_2,\beta_1+\beta_2}_{a+;\eta_2,\kappa_1}f$ が成り立つ。