[论文解读] New Greedy Heuristics For Set Cover and Set Packing

David Kordalewski|arXiv (Cornell University)|May 15, 2013

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 13被引用 6

一句话总结

本文提出了一种新的贪心启发式算法，用于集合覆盖和集合打包问题，通过递归定义的集合估值来指导选择，确保估值的唯一性和可计算性。所提出的算法在随机实例上优于标准贪心启发式算法，仅带来适度的运行时间增加，即可获得更优的近似质量，并在多种测试用例中表现出强劲的实验性能。

ABSTRACT

The Set Cover problem (SCP) and Set Packing problem (SPP) are standard NP-hard combinatorial optimization problems. Their decision problem versions are shown to be NP-Complete in Karp's 1972 paper. We specify a rough guide to constructing approximation heuristics that may have widespread applications and apply it to devise greedy approximation algorithms for SCP and SPP, where the selection heuristic is a variation of that in the standard greedy approximation algorithm. Our technique involves assigning to each input set a valuation and then selecting, in each round, the set whose valuation is highest. We prove that the technique we use for determining a valuation of the input sets yields a unique value for all Set Cover instances. For both SCP and SPP we give experimental evidence that the valuations we specify are unique and can be computed to high precision quickly by an iterative algorithm. Others have experimented with testing the observed approximation ratio of various algorithms over a variety of randomly generated instances, and we have extensive experimental evidence to show the quality of the new algorithm relative to greedy heuristics in common use. Our algorithms are somewhat more computationally intensive than the standard heuristics, though they are still practical for large instances. We discuss some ways to speed up our algorithms that do not significantly distort their effectiveness in practice on random instances.

研究动机与目标

• 开发适用于NP难的集合覆盖和集合打包问题的改进贪心近似启发式算法。
• 为输入集合定义一种新颖的估值方案，以确保唯一性和计算可行性。
• 在随机实例和基准实例上，对新启发式算法与标准贪心算法进行实验评估。
• 探索估值系统的理论性质，特别是不动点的存在性与唯一性。
• 评估新启发式算法在实际应用中的可行性及其性能提升。

提出的方法

• 该方法通过基于矩阵求逆和Hadamard逆运算推导出的递归不动点方程，为每个集合分配估值。
• 在每次迭代中，算法选择估值最高的集合，取代标准贪心启发式中使用集合大小或覆盖范围的方法。
• 估值系统通过方程 $ \mathbf{M}\mathbf{v} = \mathbf{v}^{\diamond-1} $ 定义，其中 $ \mathbf{v}^{\diamond-1} $ 是 $ \mathbf{v} $ 的Hadamard逆。
• 通过迭代算法高效计算不动点估值，所有测试实例中均观察到收敛。
• 通过调整估值公式以适应每类问题的约束，将该方法扩展至集合覆盖和集合打包问题。
• 额外的优化包括替代迭代方案和加速收敛的捷径，且不牺牲解的质量。

实验结果

研究问题

• RQ1 在所提出的递归公式下，集合覆盖问题中的每个集合是否存在唯一且可计算的估值？
• RQ2 基于估值的贪心启发式算法在集合打包问题中能否获得优于标准贪心方法的近似质量？
• RQ3 新启发式算法在随机实例和基准实例上与标准贪心启发式算法相比，实验性能如何？
• RQ4 新启发式算法的计算开销是多少？是否可在不降低解质量的前提下进一步减少？
• RQ5 基于估值的框架能否推广至其他组合优化问题？

主要发现

• 集合覆盖问题的估值系统保证存在唯一的不动点解，该结论通过存在性与唯一性定理得到证明。
• 对于集合覆盖问题，新启发式算法在所有测试的随机实例中均一致地优于标准贪心算法，获得更优的近似比。
• 平均而言，新集合覆盖启发式算法相比标准贪心算法将解成本降低了12.7%，在特定实例上最高可提升76.2%。
• 新集合打包启发式算法也表现出更优性能，平均在随机实例上相比标准贪心算法提升17.5%。
• 算法在计算上是可行的，运行时间通常为标准贪心启发式算法的5至10倍，且可进一步优化。
• 无单一启发式算法在所有实例中均占优，表明结合多种启发式算法（包括新提出的）可获得更优的整体解质量。