[論文レビュー] New observations on cohomology rings of Reeb spaces of explicit fold maps and manifolds admitting these maps

Naoki Kitazawa|arXiv (Cornell University)|Nov 20, 2019

Geometric and Algebraic Topology参考文献 13被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、明示的な多様体上の折りたたみ写像の新規構成を提示し、それらのリーマン空間のコhomology環を計算することで、新たな位相的型が明らかになった。S-バブルリング操作と安定的折りたたみ写像の連結和を用いることで、係数環が ℤ では同型だが ℤ/pℤ や ℤ/2pℤ では同型でないコhomology環をもつリーマン空間をもつ新たな折りたたみ写像が構成され、リーマン空間不変量における新たな位相的区別が示された。

ABSTRACT

As a branch of algebraic and differential topology of manifolds, the theory of Morse functions and their higher dimensional versions or fold maps and its application to algebraic and differential topology of manifolds is fundamental, important and interesting. This paper is on explicit construction of fold maps and homology groups and cohomology rings of their Reeb spaces: they are defined as the spaces of all connected components of preimages of the maps, and in suitable situations inherit some topological information such as homology groups and cohomology rings of the manifolds. Explicit construction of the maps is a fundamental and difficult task even on manifolds which are not so complicated. The author has constructed explicit fold maps systematically and performed several calculations of homology groups and cohomology rings of the Reeb spaces. This paper concerns new observations on this task.

研究の動機と目的

• 多様体上の明示的な折りたたみ写像を体系的に構成し、リーマン空間を通じてその位相的不変量を研究すること。
• これらの折りたたみ写像に由来するリーマン空間のコhomology環を計算および比較すること。
• ℤ では区別できないが、有限環では区別できる新たなリーマン空間の位相的型を同定すること。
• S-バブルリングと連結和を用いた方法を確立し、ホモロジーおよびコhomologyの性質を制御可能な新たな安定的折りたたみ写像を生成すること。

提案手法

• 著者は、安定的特異的一般写像に S-バブルリング操作を適用し、新たな折りたたみ写像を生成する。生成された多面体は、元の写像のリーマン空間の内部に配置される。
• 元の折りたたみ写像と、S-バブルリング操作を有限回繰り返した結果との連結和を実行し、新たな折りたたみ写像を構成する。
• 構成法により、得られるリーマン空間のホモロジー加群が、PID R 上で元の加群と指定された加群 G_j の直和に同型であることが保証される。
• 自然な射影を介してコhomology環の構造が保存され、唯一の変更は次数 n において、G_n の部分加群 H が追加される点に限る。
• すべてのバブルからの前像成分が固定されたホモトピー球面に微分同相であるという仮定に依拠しており、同相型が保たれ、位相的制御が可能になる。
• 理論的道具としては、多様体の連結成分の逆像による商としてのリーマン空間の定式化と、安定的折りたたみ写像理論およびホモトピー球面分類に関する結果の応用が用いられる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 係数環が ℤ では同型だが ℤ/pℤ や ℤ/2pℤ では同型でないコhomology環をもつリーマン空間をもつ新たな折りたたみ写像を体系的に構成可能か？
• RQ2 S-バブルリング操作をどのように繰り返し、連結和と組み合わせることで、リーマン空間のホモロジーおよびコhomologyを制御できるか？
• RQ3 リーマン空間のホモロジー加群がPID R 上で所望の分解を持つための条件は何か？
• RQ4 リーマン空間のコhomology環構造は、どのように新たな折りたたみ写像の位相的型を区別するか？

主な発見

• S-バブルリングと連結和によって構成された折りたたみ写像のリーマン空間は、PID R 上で元の加群と与えられた加群 G_j の直和に同型なホモロジー加群を持つ。
• j < n に対しては、コhomology環 H^j(W_{f''}; R) が H^j(W_f; R) ⊕ G_j に同型であり、自然な射影によって誘導される。
• 次数 n において、コhomology加群 H^n(W_{f''}; R) は H^n(W_f; R) ⊕ H に同型であり、ここで H は G_n の非自明な自由部分加群である。
• 新たなリーマン空間のコhomology環は、H^*(W_{f'}; R) の積と自然な射影の合成により構成され、唯一の例外は次数 n での変更に限る。
• 構成されたリーマン空間は新たな位相的型を示す：それらのコhomology環は ℤ 上では同型だが、ℤ/pℤ や ℤ/2pℤ 上では同型でないため、微細ではあるが顕著な区別が示された。
• この方法により、[8] に示された構成と同様に ℤ 上では同型のコhomology環をもつが、それらとは同型でないリーマン空間をもつ折りたたみ写像が成功裏に生成された。