[論文レビュー] Non-enlargeable operators and self-cancelling operators

B. F. Svaiter|arXiv (Cornell University)|Jul 7, 2008

Optimization and Variational Analysis参考文献 24被引用数 13

ひとこと要約

本稿は、再帰的バナッハ空間および内部をもつ定義域の仮定を排除することで、非拡大可能な最大単調作用素—すなわち、ε-拡大が作用素自身と一致するもの—を調査する。最大自己相殺作用素が非拡大可能であることを確立し、非再帰的設定ですらもε-拡大が元の作用素に収縮する条件を提示する。

ABSTRACT

The epsilon-enlargement of a maximal monotone operator is a construct similar to the Brøndsted and Rocakfellar epsilon-subdifferential enlargement of the subdifferential. Like the epsilon-subdifferential, the epsilon-enlargement of a maximal monotone operator has practical and theoretical applications. In a recent paper in Journal of Convex Analysis Burachik and Iusem studied conditions under which a maximal monotone operator is non-enlargeable, that is, its epsilon-enlargement coincides with the operator. Burachik and Iusem studied these non-enlargeable operators in reflexive Banach spaces, assuming the interior of the domain of the operator to be nonempty. In the present work, we remove the assumption on the domain of non-enlargeable operators and also present partial results for the non-reflexive case.

研究の動機と目的

• 定義域に空でない内部を持つという仮定をせず、非拡大可能な最大単調作用素を特徴づけること。
• 再帰的バナッハ空間から一般のバナッハ空間へと、ε-拡大に関する先行結果を拡張すること。
• 最大自己相殺作用素と非拡大可能性の関係を調査すること。
• 作用素のε-拡大が作用素自身と一致する条件を確立すること。
• フィッツパトリック関数および類似随伴構成が、非拡大可能な作用素を特徴づける役割を果たすかを検討すること。

提案手法

• 最大単調作用素 T の ε-拡大を、(x,x*) ∈ T^ε であることと、すべての (y,y*) ∈ T に対して ⟨x−y,x*−y*⟩ ≥ −ε が成り立つことによって定義する。
• A ⊂ A^† かつ A^† が単調であるような自己相殺作用素 A の概念を導入し、双対性ペアリングを用いて A^† を定義する。
• 集合の双対を A^† = {(x,x*) | ⟨x,y*⟩ + ⟨y,x*⟩ ≤ 0 がすべての (y,y*) ∈ A に対して成り立つ} と定義する類似随伴構成を適用する。
• 単調性および非拡大可能性を特徴づけるために、フィッツパトリック関数 φ_T(x,x*) = sup_{(y,y*)∈T} ⟨x,y*⟩ + ⟨y,x*⟩ − ⟨y,y*⟩ を用いる。
• A が最大自己相殺であるならば、A^† または −A^† が最大単調であることを、内積の符号条件に対する背理法を用いて証明する。
• 閉じた定義域および値域の性質を分析し、弱*位相を用いることで、再帰的空間からの結果を非再帰的設定へと拡張する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どのような条件下で最大単調作用素が非拡大可能となるか、すなわちすべての ε ≥ 0 に対して T^ε = T が成り立つか？
• RQ2 定義域に空でない内部を持つという仮定をせず、作用素の非拡大可能性を特徴づけることは可能か？
• RQ3 最大自己相殺作用素と非拡大可能作用素の関係は何か？
• RQ4 非再帰的バナッハ空間におけるε-拡大の振る舞いはいかなるものか？
• RQ5 自己相殺である A に対して、類似随伴作用素 A^† が最大単調となるのはいつか？

主な発見

• 最大自己相殺作用素は非拡大可能であり、そのε-拡大は作用素自身と一致する。
• A が最大自己相殺であり、D(A) が閉じているならば、A は歪である、すなわち A = −A^† であり、したがって非拡大可能である。
• 再帰的バナッハ空間において、A が最大自己相殺であり、R(A) が閉じているならば、A は歪であり、したがって非拡大可能である。
• ε-拡大 T^ε は、定義域の内部において、ハウスドルフ距離の下で非空かつ局所リプシッツ連続である。
• A が自己相殺である限り、A^† は単調であり、A が最大であるとき、A^† または −A^† が最大単調である。
• 非拡大可能作用素の研究において、定義域が空でない内部を持つ必要がなくなり、一般のバナッハ空間へと結果が拡張された。