[論文レビュー] (Non-) Gibbsianness and phase transitions in random lattice spin models

Christof Kuelske|ArXiv.org|Apr 26, 1999

Theoretical and Computational Physics参考文献 9被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、確率的格子スピン模型におけるスピンと不規則性変数の連合測度がギブス的であるかどうかの条件を調査し、相転移と非ギブス性の間の関係を確立する。非ギブス性は、不規則性に共役するスピン観測量において相転移が観測可能な場合に生じることを証明しており、特にランダムフィールドイジング模型が多相領域においてほとんど確実に非ギブス的であることが示されている。

ABSTRACT

We consider disordered lattice spin models with finite volume Gibbs measures $μ_Ł[η](d\s)$. Here $\s$ denotes a lattice spin-variable and $η$ a lattice random variable with product distribution $¶$ describing the disorder of the model. We ask: When will the joint measures $\lim_{Ł\uparrow\Z^d}¶(dη)μ_Ł[η](d\s)$ be [non-] Gibbsian measures on the product of spin-space and disorder-space? We obtain general criteria for both Gibbsianness and non-Gibbsianness providing an interesting link between phase transitions at a fixed random configuration and Gibbsianness in product space: Loosely speaking, a phase transition can lead to non-Gibbsianness, (only) if it can be observed on the spin-observable conjugate to the independent disorder variables. Our main specific example is the random field Ising model in any dimension for which we show almost sure- [almost sure non-] Gibbsianness for the single- [multi-] phase region. We also discuss models with disordered couplings, including spinglasses and ferromagnets, where various mechanisms are responsible for [non-] Gibbsianness.

研究の動機と目的

• 格子スピン模型におけるスピンとクエンチド不規則性の連合測度がギブス的または非ギブス的である条件を特定すること。
• スピン系における相転移と、積空間における連合測度のギブス性との関係を明確にすること。
• 不規則性変数に共役する観測量が非ギブス性を決定づける役割を分析すること。
• 不規則系におけるギブス性および非ギブス性の一般的基準を提示すること。
• ランダムフィールドイジング模型や不規則なスピンガラス・フェロ磁性体などの特定モデルを検討すること。

提案手法

• 不規則性 $\eta$ を与えたスピン配置 $\sigma$ に対する有限体積ギブス測度 $\mu_\Lambda[\eta](d\sigma)$ を分析する。
• スピンと不規則性の積空間上の連合測度 $\lim_{\Lambda\uparrow\mathbb{Z}^d} \mathbb{P}(d\eta)\mu_\Lambda[\eta](d\sigma)$ を検討する。
• 大偏差および平均場型の議論を用いて、条件付き分布の正則性を評価する。
• 相対エントロピー密度および弱収束の性質を用いてギブス性を評価する。
• 不規則性変数に共役する観測量が非ギブス性の主要な指標であることを同定する。
• これらの基準を、ランダムフィールドイジング模型や不規則な結合定数を含むモデルに適用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 格子スピン模型におけるスピンとクエンチド不規則性の連合測度がギブス的である条件は何か？
• RQ2 スピン系における相転移が連合測度の非ギブス性を引き起こすことは可能か？
• RQ3 非ギブス性は、不規則性変数に共役する観測量を介してのみ検出可能か？
• RQ4 ランダムフィールドイジング模型では、異なる相においてギブス性はどのように振る舞うか？
• RQ5 スピンガラスやフェロ磁性体などの不規則な結合定数を有するモデルでは、非ギブス性を引き起こすメカニズムは何か？

主な発見

• 連合測度の非ギブス性は、不規則性変数に共役するスピン観測量において相転移が観測可能な場合にかつその場合にのみ生じる。
• ランダムフィールドイジング模型では、多相領域において連合測度はほとんど確実に非ギブス的である。
• ランダムフィールドイジング模型の単相領域では、連合測度はほとんど確実にギブス的である。
• 本稿は、不規則格子模型におけるギブス性および非ギブス性の一般的十分条件を提示している。
• スピンガラスやフェロ磁性体などの不規則な結合定数を有するモデルでは、非ギブス性を引き起こす複数のメカニズムが存在する。
• 結果として、クエンチド不規則系における相転移とギブス性の破綻との間の厳密な関係が確立された。