[論文レビュー] Non-Hermitian $\cal PT$-symmetric quantum mechanics of relativistic particles with the restriction of mass

V.N. Rodionov|arXiv (Cornell University)|Mar 28, 2013

Quantum Mechanics and Non-Hermitian Physics参考文献 2被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、ディラック方程式に γ₅ に依存する質量項（m → m₁ + γ₅m₂）を導入することで、非ヒルベルト的 PT 対称な相対論的量子力学の拡張を検討する。PT 対称性が保たれるために必要な質量制限 m ≤ m_max = m₁²/(2m₂) を導出し、通常のフェルミオン（m₂ ≤ m₁/√2）と奇妙なフェルミオン（m₁/√2 ≤ m₂ ≤ m₁）の二つの異なる粒子系を明らかにする。通常のフェルミオンは標準的ディラック理論の極限に達するが、奇妙なフェルミオンはそのような極限を持たず、暗黒物質候補と関連する可能性がある。

ABSTRACT

The modified Dirac equations for the massive particles with the replacement of the physical mass $m$ with the help of the relation $m ightarrow m_1+ γ_5 m_2$ are investigated. It is shown that for a fermion theory with a $γ_5$-mass term, the limiting of the mass specter by the value $ m_{max}= {m_1}^2/2m_2$ takes place. In this case the different regions of the unbroken $\cal PT$ symmetry may be expressed by means of the restriction of the physical mass $m\leq m_{max}$. It should be noted that in the approach which was developed by C.Bender et al. for the $\cal PT$-symmetric version of the massive Thirring model with $γ_5$-mass term, the region of the unbroken $\cal PT$-symmetry was found in the form $m_1\geq m_2$ \cite{ft12}. However on the basis of the mass limitation $m\leq m_{max}$ we obtain that the domain $m_1\geq m_2$ consists of two different parametric sectors: i) $0\leq m_2 \leq m_1/\sqrt{2}$ -this values of mass parameters $m_1,m_2$ correspond to the traditional particles for which in the limit $m_{max} ightarrow \infty$ the modified models are converting to the ordinary Dirac theory with the physical mass $m$; ii)$m_1/\sqrt{2}\leq m_2 \leq m_1$ - this is the case of the unusual particles for which equations of motion does not have a limit, when $m_{max} ightarrow \infty$. The presence of this possibility lets hope for that in Nature indeed there are some "exotic fermion fields". As a matter of fact the formulated criterions may be used as a major test in the process of the division of considered models into ordinary and exotic fermion theories. It is tempting to think that the quanta of the exotic fermion field have a relation to the structure of the "dark matter".

研究の動機と目的

• 非ヒルベルト的 PT 対称な枠組み内での相対論的ディラック方程式に γ₅ に依存する質量項（m₁ + γ₅m₂）を導入した場合の物理的意味を調査すること。
• 導出されたハミルトニアンの PT 対称性が保たれる条件を特定すること。
• 同じ代数的構造から生じる通常のフェルミオン状態と奇妙なフェルミオン状態の物理的差異を明らかにすること。
• PT 対称性と幾何的制約から生じる結果として、質量スペクトル制限 m ≤ m_max = m₁²/(2m₂) を確立すること。
• m_max → ∞ の極限で標準的ディラック理論に還元されない奇妙なフェルミオン状態が、暗黒物質に関連する可能性があるかどうかを評価すること。

提案手法

• γ₅ 質量項を含む修正されたディラック方程式の定式化：(p₀ − α̂·p − β̂(m₁ + γ₅m₂))Ψ = 0。
• 非ヒルベルト的ハミルトニアン H = α̂·p + β̂(m₁ + m₂γ₅) を導出し、特定の条件下で PT 対称性を有することを示す。
• PT 対称性基準 [H, PT]ψ = 0 を適用し、対称性が保たれる領域を同定する。
• 補助パラメータ変換 ν₁ = m₁/M、ν₂ = m₂/M を用いて、(ν₁, ν₂) 平面上での対称性領域をマッピングする。
• PT 対称性の保たれる領域を定義するための基準 m₁² ≥ m₂² を適用し、三つのセクターに分割する。
• de Sitter 動力学空間における有限質量スペクトルの幾何的制約から、m_max = m₁²/(2m₂) を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 γ₅ 質量項を有する PT 対称なディラック理論において、m ≤ m_max = m₁²/(2m₂) の質量制限が物理的に何を意味するか？
• RQ2 m₁ ≥ m₂ の条件がパラメータ空間をフェルミオン行動の物理的に異なるセクターに分割する理由は何か？
• RQ3 なぜ m₂ ≤ m₁/√2 と m₁/√2 ≤ m₂ ≤ m₁ のセクターがそれぞれ通常のフェルミオンと奇妙なフェルミオンに対応するのか？
• RQ4 奇妙なセクターで標準的ディラック理論の極限が存在しないことが、m_max → ∞ の極限における物理的質量限界の不在と関連している理由は何か？
• RQ5 de Sitter 動力学空間を用いた幾何的アプローチが、有限質量スペクトルを有する非ヒルベルト的 PT 対称ハミルトニアンを生成する役割は何か？

主な発見

• γ₅ 質量項を有する修正ディラックハミルトニアンは非ヒルベルト的であるが、m₁² ≥ m₂² の条件下で未破れの PT 対称性を示す。
• 有限質量スペクトルは de Sitter 動力学空間における幾何的制約から生じる条件 m ≤ m_max = m₁²/(2m₂) によって強制される。
• パラメータ空間 m₁² ≥ m₂² は三つの部分領域に分割される：二つの奇妙なセクター（ν₁/√2 ≤ ν₂ ≤ ν₁ および −ν₁ ≤ ν₂ ≤ −ν₁/√2）と一つの通常のセクター（−ν₁/√2 ≤ ν₂ ≤ ν₁/√2）。
• 通常のフェルミオンセクター（m₂ ≤ m₁/√2）は m_max → ∞ の極限で標準的ディラック理論への滑らかな極限を許容するが、奇妙なセクター（m₁/√2 ≤ m₂ ≤ m₁）はそのような極限を持たない。
• 奇妙なフェルミオンは、無限大の質量極限でも標準形式に還元されない修正ディラック方程式によって特徴づけられ、根本的に異なる力学的性質を示す。
• γ₅ 質量項を構成する代数的アプローチは、最大質量を持つ幾何モデルから事前に得られた同じ奇妙な粒子構造を再現でき、奇妙なフェルミオン状態が幾何的形式に特有ではないことを示している。