[論文レビュー] Noncommutative quantum mechanics as a constrained system

Alexei A. Deriglazov|ArXiv.org|Dec 7, 2001

Noncommutative and Quantum Gravity Theories参考文献 9被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、拡張された配置空間における第二級制約系の正準量子化から非可換量子力学（NQM）が生じることを示している。補助変数と第二級制約を含むラグランジアン作用を定式化することで、ディラック括弧手続きが自然に非可換位置括弧を導き、モーヤル星積に依存せずに元の非可換変数を用いた直接的な量子化を可能にする。

ABSTRACT

It is shown that quantum mechanics on noncommutative spaces (NQM) can be obtained by the canonical quantization of some underlying second class constrained system formulated in extended configuration space. It leads, in particular, to an intriguing possibility of quantization in terms of the initial (noncommutative) variables. Two different formulations are discissed. The first one is appropriate for at most quadratic potential. The noncommutativity parameter and rank of matrix of the constraint brackets depend on the potential. It explains appearance of two phases of the resulting NQM. The second formulation is appropriate for an arbitrary potential. In both cases the corresponding Lagrangian action is presented and quantized, which leads to quantum mechanics with ordinary product replaced by the Moyal product.

研究の動機と目的

• 第二級制約系に基づく非可換量子力学（NQM）の正準フレームワークを確立すること。
• 元の非可換変数（非可換変数）を用いたNQMの量子化という課題を解決すること。
• 任意のポテンシャルを再現できるラグランジュ形式を提供し、高階微分項を回避すること。
• 標準的なモーヤル積形式が、制約系のディラック括弧量子化から自然に導かれることが示されること。
• 第一級制約量子化やゲージ固定などの代替量子化スキームが、非可換変数そのものに直接適用可能になること。

提案手法

• 変数 $x_a$ と補助変数 $v_a$ を含む拡張された配置空間におけるラグランジアン作用を定式化し、チーン＝シモンズ型項とポテンシャルエネルギーを組み込む。
• ハミルトニアン形式から一次的および二次的第二級制約 $G_a = p_a + 2 heta^{-1}_{ab}v_b = 0$ と $T_a = \tilde{p}_a - 2 heta^{-1}_{ab}v_b = 0$ を特定する。
• 物理的自由度を除去するためのディラック括弧を構成し、非自明な $\{x_a, x_b\}_D = \theta \epsilon_{ab}$ を得る。これにより非可換構造が再現される。
• 物理的ハミルトニアンを $x_a$ と $p_a$ の関数として導出し、二次ポテンシャルの場合に $\partial_a U \partial_a U$ に比例する項がポテンシャルに修正されることを示す。
• 一般のポテンシャルに対しては、$\dot{v}^2$ 項を省略した簡略化された作用を用い、一次的制約が $v_a$ のみに依存するようにし、微分に依存する括弧を回避する。
• 標準的な正準量子化をディラック括弧代数に適用し、標準的なNQM（モーヤル積を用いる）を回復するか、元の非可換変数における直接的量子化を可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非可換量子力学は、制約付き力学系の正準量子化から導出可能か？
• RQ2 第一階ラグランジュ形式において、第二級制約から非可換構造 $\{x_a, x_b\} = \theta \epsilon_{ab}$ がどのように生じるか？
• RQ3 元の非可換変数 $x_a$ を用いたNQMの直接的量子化は、標準的な星積形式を回避して可能か？
• RQ4 補助変数 $v_a$ は非可換性を生成し、任意のポテンシャルに対して整合性を保つ役割を果たすか？
• RQ5 第一級制約量子化やゲージ固定などの代替量子化スキームを、制約付きNQM系に適用可能か？

主な発見

• 非可換性パラメータ $\theta$ は $\theta = \bar{\theta} \cdot \det^{-1}(1 - \frac{m\bar{\theta}^2}{4} \partial\partial U)$ として動的に生成され、ポテンシャルの二階微分に依存する。
• 二次ポテンシャルの場合、物理的ハミルトニアンは $H_{\text{ph}} = \frac{1}{2m}\tilde{p}^2 - \frac{m\bar{\theta}^2}{8} \partial_a U \partial_a U + U(F^{-1}(\tilde{x} - \frac{1}{2}\theta \tilde{p}))$ となり、再正則化された有効ポテンシャルを示す。
• ポテンシャルに依存する $\theta$ の依存性により、二つの異なる相が存在し、分母の行列式が消える際に相転移が発生する。
• 一般のポテンシャルに対しては、作用 $S = \int d\tau [2(\dot{v}-\dot{x})\theta^{-1}v - \frac{2}{m\bar{\theta}^2}v^2 - V(x)]$ が、$\{x_a, x_b\} = \theta \epsilon_{ab}$ およびハミルトニアンにおける標準的モーヤル積を正しく再現する。
• 正準変数 $\tilde{x}_a = x_a + \frac{1}{2}\theta_{ab}p_b$, $\tilde{p}_a = p_a$ は、モーヤル積を用いた標準的NQM形式を回復し、等価性を証明する。
• この定式化により、第一級制約量子化（例：波動関数に $G_a = 0$ を条件として課す）を用いた非可換変数そのものの直接的量子化が可能となり、星積を完全に回避できる。