[論文レビュー] Nonlinear Data-Enabled Prediction and Control

Yingzhao Lian, Colin N. Jones|arXiv (Cornell University)|Jan 8, 2021

Control Systems and Identification参考文献 25被引用数 8

ひとこと要約

本稿は、再現核ヒルバート空間（RKHS）にシステムダイナミクスを埋め込むことで、Willemsの基本的補題を非線形システムへと拡張し、カーネル化された線形関数型を用いたデータ駆動型予測および予測制御を可能にする。主な貢献は、RKHSの双対空間における非線形ダイナミクスのカーネル化された特徴付けであり、理論的分析と数値実装によって検証されている。

ABSTRACT

The Willems' fundamental lemma, which characterizes linear dynamics with measured trajectories, has found successful applications in controller design and signal processing, which has driven a broad research interest in its extension to nonlinear systems. In this work, we propose to apply the fundamental lemma to a reproducing kernel Hilbert space in order to extend its application to a class of nonlinear systems and we show its application in prediction and in predictive control.

研究の動機と目的

• 非線形システムにおけるデータ駆動型手法の不足を解消し、明示的なモデル構造や全状態測定を必要としない。
• 元来線形時不変システムに限定されていたWillemsの基本的補題の適用範囲を、RKHSにおける関数解析を用いて非線形ダイナミクスへ拡張する。
• 測定された軌道を用いて、非線形システムのためのデータ駆動型予測制御およびシステム応答予測を可能にする。
• RKHSの双対空間におけるカーネル化された線形ダイナミクスの理論的基盤を提供し、存在可能性と数値的実行可能性を保証する。
• 行動的システム理論とKoopman作用素理論を統合し、非線形ダイナミクスを再現核空間における線形関数型として定式化する。

提案手法

• 非線形システムのダイナミクスを、RKHSの双対空間における評価関数型上に作用する線形作用素としてモデル化する。
• 入力および出力の軌道を、RKHSの双対空間 $H_u^*$, $H_y^*$, $H_x^*$ における評価関数型の系列として表現する。
• 積層された評価関数型から構築されるハンケル行列を用いてシステム軌道を捉え、Willemsの基本的補題のカーネル化されたバージョンを適用する。
• 双対空間における線形動的システムとしてシステムを定式化する：$f_{i+1} = \mathcal{A}f_i + \mathcal{B}E_{u_i}$, $E_{y_i} = \mathcal{C}f_i + \mathcal{D}E_{u_i}$, ここで $f_i \in H_x^*$ である。
• リース表現定理を活用して有界な評価関数型を保証し、入力および出力空間のカーネル関数 $k_u(\cdot,\cdot)$, $k_y(\cdot,\cdot)$ を定義する。
• RKHSフレームワーク内での線形作用素 $\mathcal{A}, \mathcal{B}, \mathcal{C}, \mathcal{D}$ の存在および性質を分析することで、数値的実行可能性を確保する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 関数解析的枠組みを用いて、Willemsの基本的補題を非線形システムへ拡張できるか？
• RQ2 非線形ダイナミクスを、RKHSの双対空間における線形関数型としてどのように表現できるか？ これによりデータ駆動型制御が可能になるか？
• RQ3 RKHSの双対空間におけるカーネル化された線形ダイナミクスの存在性および数値的実行可能性を保証する条件は何か？
• RQ4 このカーネル化された定式化は、非線形システムの正確な予測および予測制御をどの程度可能にするか？
• RQ5 本手法は、明示的なモデル構造や全状態の知識を必要とする既存のデータ駆動型手法と比較して、どのように優れているか？

主な発見

• 本稿は、軌道を再現核ヒルバート空間の双対空間に埋め込むことで、非線形システムダイナミクスのカーネル化された特徴付けを確立した。
• 恒常的励起条件の下で、評価関数型のハンケル行列の列空間が、すべての $L$-ステップ軌道を張ることを証明し、Willemsの基本的補題を非線形システムへ拡張した。
• 明示的なシステムモデルの知識や全状態測定を必要とせず、データ駆動型の予測制御およびシステム応答予測を可能にした。
• 理論的分析により、RKHSの双対空間における有界な線形作用素 $\mathcal{A}, \mathcal{B}, \mathcal{C}, \mathcal{D}$ の存在が保証され、数学的整合性が確認された。
• カーネル選択の役割および無限次元関数型の有限次元近似に関する数値実装上の考察が提示された。
• 追加の証明と例題を含む拡張版は、arXiv（arXiv:2102.06553）で利用可能である。