[論文レビュー] Nonlinear Traces

Dani Ben‐Zvi, David Nadler|arXiv (Cornell University)|May 30, 2013

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 6被引用数 6

ひとこと要約

この論文は、導来代数幾何と高階圏論を用いて、代数幾何における古典的固定点公式と特性公式を統一し、滑らかさや横断的条件の仮定なしに、グロテンディーク＝リーマン・ローチ、アティヤ＝ボット＝リーマンツ、フロベニウス＝ヴァイルの定理を一般化する非線形トレース形式的枠組みを、対応カテゴリにおいて導入する。滑らかさや横断的条件の仮定なしに、線形結果は層理論を用いて回復され、群のカテゴリへの作用のような非線形文脈へと拡張される。

ABSTRACT

We combine the theory of traces in homotopical algebra with sheaf theory in derived algebraic geometry to deduce general fixed point and character formulas. The formalism of dimension (or Hochschild homology) of a dualizable object in the context of higher algebra provides a unifying framework for classical notions such as Euler characteristics, Chern characters, and characters of group representations. Moreover, the simple functoriality properties of dimensions clarify celebrated identities and extend them to new contexts. We observe that it is advantageous to calculate dimensions, traces and their functoriality directly in the nonlinear geometric setting of correspondence categories, where they are directly identified with (derived versions of) loop spaces, fixed point loci and loop maps, respectively. This results in universal nonlinear versions of Grothendieck-Riemann-Roch theorems, Atiyah-Bott-Lefschetz trace formulas, and Frobenius-Weyl character formulas. On the one hand, we can then linearize by applying sheaf theories, such as the theories of coherent sheaves and D-modules, developed by Gaitsgory and Rozenblyum, as functors out of correspondence categories (in the spirit of topological field theory). This recovers the familiar classical identities, in families and without any smoothness or transversality assumptions. On the other hand, the formalism also applies to higher categorical settings not captured within a linear framework, such as characters of group actions on categories.

研究の動機と目的

• 高階圏論的およびホモトピー論的技法を用いて、代数幾何における古典的トレースおよび特性公式を統一すること。
• 線形的枠組みでは捉えきれない高階圏的文脈、例えばカテゴリへの群作用のような非線形幾何的文脈にまで、これらの公式を拡張すること。
• 導来対応カテゴリにおける次元、トレース、ファンクター理論的性質の普遍的枠組みを提供すること。
• 対応カテゴリに対して層理論（例えば、両立層、D-モジュール）を適用することで、線形結果（例えば、両立層、D-モジュール）を回復すること。
• 群のカテゴリへの作用のような非線形設定へと、特性理論を一般化すること。

提案手法

• 高次代数における双対的対象のホッフ・ホモロジーを用いて、次元とトレースを形式化すること。
• トレースが導来ループ空間および固定点集合に対応する非線形幾何的設定、すなわち対応カテゴリで作業すること。
• 次元のファンクター理論的性質を用いて、一様な枠組みの中で古典的恒等式を明確化し、一般化すること。
• トポロジカル場理論にインspiredされた、対応カテゴリからの関手としての層理論（例えば、両立層、D-モジュール）を適用すること。
• この文脈において、グロテンディーク＝リーマン・ローチ、アティヤ＝ボット＝リーマンツ、フロベニウス＝ヴァイルの定理の普遍的バージョンを導出すること。
• 線形枠組みでは捉えきれない高階圏的文脈、例えばカテゴリ上の群の表現などに、この形式的枠組みを拡張すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 代数幾何において、滑らかさや横断的条件の仮定なしに、古典的固定点および特性公式をどのように一般化できるか。
• RQ2 非線形トレース形式的枠組みにおいて、導来ループ空間および固定点集合が果たす役割は何か。
• RQ3 次元のファンクター理論的性質が、表現論および代数幾何における恒等式をどのように明確化し、統一するか。
• RQ4 対応カテゴリの枠組みにおいて、グロテンディーク＝リーマン・ローチおよびリーマンツのトレース定理の普遍的バージョンをどのように導出できるか。
• RQ5 非線形幾何的手法を用いて、群のカテゴリへの作用に対する特性理論をどのように拡張できるか。

主な発見

• 本論文は、滑らかさや横断的条件の仮定なしに成立する、グロテンディーク＝リーマン・ローチ定理の普遍的非線形版を確立した。
• トレースが対応カテゴリにおけるループ写像および固定点集合として、導来幾何的解釈を持つことが示された。
• 形式的枠組みは、ファミリーおよび高階圏的設定において、古典的特性公式（例えば、フロベニウス＝ヴァイル）を回復した。
• 次元のファンクター理論的性質が、表現論および代数トポロジーにおける著名な恒等式を明確化し、拡張した。
• 本フレームワークは、群のカテゴリへの作用のような非線形文脈へと適用可能であり、線形表現を超えた特性理論を一般化した。
• 両立層やD-モジュールのような層理論が、対応カテゴリからの関手として回復され、普遍的枠組みの中で線形結果が得られた。