[論文レビュー] Notes on Cohomologies of Ternary Algebras of Associative Type

H. Ataguema, Abdenacer Makhlouf|arXiv (Cornell University)|Dec 3, 2008

Advanced Topics in Algebra参考文献 37被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、部分的に結合的および弱く完全に結合的な三項代数のコホモロジー理論を調査する。部分的に結合的な三項代数に対しては、3次コバウンダリー作用素が存在しないため、変形コホモロジーを構成できないことが示され、その結果、そのオペラッドはクズルでないことが示唆される。また、タフタジャンのコホモロジー構成が代数的タイプの三項代数に適用できないこと、および同様の結果が歪み結合的二項代数へ拡張されることも示している。

ABSTRACT

The aim of this paper is to investigate the cohomologies for ternary algebras of associative type. We study in particular the cases of partially associative ternary algebras and weak totally associative ternary algebras. Also, we consider the Takhtajan's construction, which was used to construct a cohomology of ternary Nambu-Lie algebras using Chevalley-Eilenberg cohomology of Lie algebras, and discuss it in the case of ternary algebras of associative type. One of the main results of this paper states that a deformation cohomology does not exist for partially associative ternary algebras which implies that their operad is not a Koszul operad.

研究の動機と目的

• 三項代数の変形理論と整合するコホモロジー理論を構築すること。
• 部分的に結合的な三項代数に対して、変形コホモロジーを構成するために必要な3次コバウンダリー作用素が存在するかを調査すること。
• 元々ナムブ＝リー代数に用いられたタフタジャンの構成が、代数的タイプの三項代数の文脈に適用可能かどうかを分析すること。
• 歪み結合的二項代数への分析を拡張し、その変形に適合するコホモロジーが存在するかを検討すること。
• コホモロジー拡張の失敗に基づいて、部分的に結合的な三項代数のオペラッドがクズルでないことを確立すること。

提案手法

• 形式的変形理論を用いて、部分的に結合的な三項代数の1次および2次コサイクル写像を構成する。
• 一般形での3次コサイクル作用素を定義し、δ³∘δ² = 0 の条件を用いてその整合性を検証する。
• 歪み結合的性質 μ(μ(x₁⊗x₂)⊗x₃) = -μ(x₁⊗μ(x₂⊗x₃)) を適用して、3次コサイクル作用素の係数を制約する。
• オペラッドの枠組みを用いて、コホモロジー複体が次数2を超えて拡張可能かどうかを分析する。
• 同様の手法を歪み結合的二項代数に適用し、1次および2次コサイクル写像を導出し、3次コサイクルの存在を検証する。
• 整合性条件の唯一の解が自明なものであることを示し、非自明な3次コサイクルが存在しないことを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 部分的に結合的な三項代数に対して、整合的な3次コサイクル作用素を用いて変形コホモロジーを定義できるか？
• RQ2 ナムブ＝リー代数のコホモロジーに用いられたタフタジャンの構成は、代数的タイプの三項代数へ一般化可能か？
• RQ3 コホモロジー複体が次数2を超えて拡張できないことから、部分的に結合的な三項代数のオペラッドがクズルであるか？
• RQ4 同じ変形理論的枠組み下で、歪み結合的二項代数に対して整合的な3次コサイクルを構成できるか？
• RQ5 歪み結合的性質の下で、特定の係数の組み合わせが非ゼロであることによって、コホモロジーの高次への拡張が妨げられる役割は何か？

主な発見

• 部分的に結合的な三項代数に対しては、係数系が自明な解にしか導かないため、整合的な3次コサイクル作用素を定義できない。
• コホモロジー複体が次数2を超えて拡張できないことから、部分的に結合的な三項代数のオペラッドはクズルでないことが示される。
• タフタジャンのナムブ＝リー代数のコホモロジー構成は、代数的タイプの三項代数へ一般化できない。
• 弱く完全に結合的な三項代数のコホモロジーは、p-コサイクル作用素を用いてすべての次数に整合的に拡張可能である。
• 歪み結合的二項代数に対しては、非自明な3次コサイクルが存在しないため、その変形コホモロジーは存在せず、そのオペラッドもクズルでないことが証明される。
• コホモロジーの拡張が妨げられる原因は、歪み結合的性質の下で特定の係数の組み合わせがゼロでないことにある。