[論文レビュー] Notes on fold maps obtained by surgery operations and algebraic information of their Reeb spaces

Naoki Kitazawa|arXiv (Cornell University)|Nov 10, 2018

Geometric and Algebraic Topology参考文献 14被引用数 18

ひとこと要約

本稿は、手術操作を用いて得られる滑らかな多様体上の折りたたみ写像を調査し、それらのリーブ空間——位相的不変量を符号化する商空間——のコホモロジー環に焦点を当てる。バブルリング操作を用いて明示的な折りたたみ写像を構成し、得られる代数的構造を分析することで、特定の階数付き可換コホモロジー環を実現する方法を示し、特異性理論を用いた多様体の位相的理解のための構成的枠組みを提供する。

ABSTRACT

The theory of Morse functions and their higher dimensional versions or fold maps on manifolds and its application to geometric theory of manifolds is one of important branches of geometry and mathematics. Studies related to this was started in 1950s by differential topologists such as Thom and Whitney and they have been studied actively. In this paper, we study fold maps obtained by surgery operations to fundamental fold maps, and especially Reeb spaces, defined as the spaces of all connected components of preimages and in suitable situations inheriting fundamental and important algebraic invariants such as (co)homology groups. Reeb spaces are fundamental and important tools in studying manifolds also in general. The author has already studied about homology groups of the Reeb spaces and obtained several results and in this paper, we study about their cohomology rings for several specific cases, as more precise information. These studies are motivated by a problem that construction of explicit fold maps is important in investigating (the worlds of explicit classes of) manifolds in geometric and constructive ways and difficult. It is not so difficult to construct these maps for simplest manifolds such as standard spheres, products of standard spheres and manifolds represented as their connected sums. We see various types of cohomology rings of Reeb spaces via systematic construction of fold maps.

研究の動機と目的

• 手術およびバブルリング操作を用いて、多様体上の明示的な折りたたみ写像を体系的に構成するための方法を開発すること。
• これらの折りたたみ写像に関連するリーブ空間のコホモロジー環を分析し、ホモロジーのみに比べてより洗練された代数的不変量を提供すること。
• 特定の階数付き可換代数が、折りたたみ写像のリーブ空間のコホモロジー環として現れるための条件を確立すること。
• 従来のホモロジーに関する結果をコホモロジー環へと一般化し、リーブ空間の代数的理解を強化すること。
• 明示的な幾何的構成を通じて、特定のコホモロジー環構造が実際に実現可能であることを示すこと。

提案手法

• 特異点集合が codimension 1 をなす、モース関数の高次元版としての折りたたみ写像を用いる。
• 既存の折りたたみ写像を変形し、新たな写像を構成するために、特にデフォルト・バブルリングおよび M-バブルリング操作を含む手術操作を適用する。
• 同じファイバーの連結成分に属する点を同値関係で同一視するという方法で、リーブ空間を元の多様体の商空間として定義する。
• 元の環と、自由加群および部分加群 $ B_{R,s_k} $ を含む直和に同型な、階数付き可換代数 $ A $ を組み合わせることで、リーブ空間のコホモロジー環を構成する。
• 加群の分解として $ H^k(Q; R) $、$ B_{R,s_k} $、および $ G_j $ を用い、ここで $ B_{R,s_k} $ はリーブ空間の内部に滑らかに埋め込まれた $ k $-次元球面の双対クラスによって生成される。
• コホモロジー加群間の同型を用い、係数が環 $ R $ にとられた引き戻しと押し出し写像を介してコホモロジーの積を構成する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 手術操作を用いて、リーブ空間における望ましい代数的不変量を実現する明示的な折りたたみ写像を体系的に構成可能か？
• RQ2 折りたたみ写像におけるバブルリング操作の下で、リーブ空間のコホモロジー環はどのように変化するか？
• RQ3 与えられた階数付き可換代数が、折りたたみ写像のリーブ空間のコホモロジー環として現れるための条件は何か？
• RQ4 特異点集合の位相および写像の局所モデルが、コホモロジー環構造をどの程度制御可能か？
• RQ5 リーブ空間のコホモロジー環における積は、元の折りたたみ写像およびその手術の幾何的性質をどのように反映するか？

主な発見

• 構成された折りたたみ写像 $ f' $ のリーブ空間のコホモロジー環 $ H^*(W_{f'}; R) $ は、$ H^*(W_f; R) $ と階数付き可換代数 $ A $ の直和に同型であり、特定の加群分解を持つ。
• コホモロジー環構造は、自由加群 $ B_k $、部分加群 $ B_{R,s_k} $、および $ G_j $ の選択によって制御される。ここで $ B_{R,s_k} $ は、リーブ空間の内部に滑らかに埋め込まれた $ k $-次元球面の双対クラスによって生成される。
• コホモロジーの積は明示的に計算可能である：特定の要素に対しては、積が $ A_{1,j,j_1,j_2} $ と $ H^n(W_{f'}; R) $ の生成元との積として得られ、係数は $ G_n $ の構造に依存する。
• ある要因が特定の和分に属する場合、特定のコホモロジー類の積は 0 になることがあり、これは環構造における非自明な関係を示している。
• この構成により、新しい写像 $ f' $ のリーブ空間のコホモロジー環は、元の写像 $ f $ の代数的構造を継承し、制御されたランクと加群分解を持つように拡張される。
• この方法により、$ R $ 上の広範な階数付き可換代数のクラス、特に GCPS 代数を含む、リーブ空間の折りたたみ写像のコホモロジー環として実現可能である。