[論文レビュー] Numerical Approximations for Fractional Differential Equations

Yuri Dimitrov|arXiv (Cornell University)|Nov 15, 2013

Fractional Differential Equations Solutions参考文献 65被引用数 54

ひとこと要約

本稿では、初期点における導関数の消え方を活用して、GrünwaldおよびシフトGrünwald公式の重み付き平均を用いた、分数階微分方程式の2次および3次数値近似を提示する。滑らかさの条件下で、$O(\tau^2 + h^2)$収束を達成する、時間と空間で2次精度の無条件安定な陰的有限差分スキームを、部分拡散方程式および通常の分数階微分方程式に対して導出する。

ABSTRACT

The Grünwald and shifted Grünwald formulas for the function $y(x)-y(b)$ are first order approximations for the Caputo fractional derivative of the function $y(x)$ with lower limit at the point $b$. We obtain second and third order approximations for the Grünwald and shifted Grünwald formulas with weighted averages of Caputo derivatives when sufficient number of derivatives of the function $y(x) $ are equal to zero at $b$, using the estimate for the error of the shifted Grünwald formulas. We use the approximations to determine implicit difference approximations for the sub-diffusion equation which have second order accuracy with respect to the space and time variables, and second and third order numerical approximations for ordinary fractional differential equations.

研究の動機と目的

• 標準的一階Grünwald公式を超える、分数階微分の高次数値近似を構築すること。
• 時間と空間で2次精度を持つ、分数階部分拡散方程式の安定かつ収束する陰的有限差分スキームを構築すること。
• 通常の分数階微分方程式へこの手法を拡張し、Caputo微分の重み付き平均を用いて2次および3次精度を達成すること。
• 初期点で導関数が消える滑らかさの条件下で、厳密な誤差推定と収束証明を確立すること。

提案手法

• 関数 $y(x)$ の十分な階数の導関数が $b$ で消える場合に、Caputo微分の重み付き平均を用いてGrünwaldおよびシフトGrünwald公式の2次および3次近似を導出する。
• シフトGrünwald公式の誤差推定を用いて、分数階微分の高次近似を構築する。
• 形式 $y^{(\alpha)}(x) + y(x) = f(x)$ の通常の分数階微分方程式を解くための再帰関係を、時間と空間で2次および3次精度を持つように構築する。
• 近似式 (9) および (10) を用いて、部分拡散方程式 $\partial^\alpha u/\partial t^\alpha = \partial^2 u/\partial x^2 + G(x,t)$ のための陰的差分スキーム (56) および (57) を構築する。
• 行列再帰およびベクトルノルム解析を用いて安定性と収束性を証明し、誤差が $\|E_m\| < C m^\alpha \tau^\alpha (\tau^2 + h^2)$ で有界であることを示す。
• 時間方向にCrank-Nicolson法、空間方向に中央差分を適用し、両変数で2次精度を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 初期点で導関数が消える場合に、Grünwald公式の重み付き平均を用いて分数階微分の高次近似を構築できるか？
• RQ2 時間分数階微分の2次近似を用いた場合、分数階部分拡散方程式の陰的差分スキームの収束速度はどのようになるか？
• RQ3 Caputo微分を用いた通常の分数階微分方程式に対して、2次および3次精度のスキームをどのように導出できるか？
• RQ4 分数階部分拡散問題の数値解法において、無条件安定性と2次収束を保証する条件は何か？

主な発見

• 本稿では、関数 $y(x)$ の十分な階数の導関数が $b$ で消える条件の下で、GrünwaldおよびシフトGrünwald公式の重み付き平均を用いて、Caputo分数階微分の2次および3次近似を構築する。
• 部分拡散方程式のための陰的差分スキーム (56) および (57) は、時間と空間の両変数で2次精度 $O(\tau^2 + h^2)$ を達成する。
• これらのスキームは無条件安定であり、誤差が $\|E_m\| < C m^\alpha \tau^\alpha (\tau^2 + h^2)$ で有界であるため、すべての $m \leq M$ に対して収束が保証される。
• 通常の分数階微分方程式に対しては、再帰関係 (25)、(26)、および (33) を用いて、2次および3次精度の数値解が得られる。
• 誤差推定は、$y(x)$ の $b$ における滑らかさ、特に導関数の消え方に依存しており、これにより高次収束が達成される。
• 理論的解析により、提案スキームが $m$ が大きくても安定性と収束性を維持することが確認され、$C_R$ および $\alpha$ に依存する境界が得られる。