[論文レビュー] On $4n$-dimensional neither pointed nor semisimple Hopf algebras and the associated weak Hopf algebras

Chen Jia-lei, Shilin Yang+2 more|arXiv (Cornell University)|Sep 3, 2018

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 27被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、4n次元の非点的で非半単純なホップ代数 $H_{4n}$ に関連する弱ホップ代数 $\mathfrak{w}H_{4n}$ を構成し、その性質を分析する。$H_{4n}$ が明示的な普遍 $R$-行列をもつ quasi-triangular であることを証明する。$H_{4n}$ 及びその弱双対 $\mathfrak{w}H_{4n}^*$ のグリーン環を生成子と関係式を用いて構成し、$H_{4n}$ のグリーン環が可換であっても、$\mathfrak{w}H_{4n}^*$ のグリーン環は非可換であることが明らかになる。

ABSTRACT

For a class of neither pointed nor semisimple Hopf algebras $H_{4n}$ of dimension $4n$, it is shown that they are quasi-triangular, which universal $R$-matrices are described. The corresponding weak Hopf algebras $\mathfrak{w}H_{4n}$ and their representations are constructed. Finally, their duality and their Green rings are established by generators and relations explicitly. It turns out that the Green rings of the associated weak Hopf algebras are not commutative even if the Green rings of $H_{4n}$ are commutative.

研究の動機と目的

• 4n次元のホップ代数 $H_{4n}$ の表現論を調査すること。ただし、これは点的でも半単純でもない。
• ホップ代数 $H_{4n}$ 及びその双対から、関連する弱ホップ代数 $\mathfrak{w}H_{4n}$ 及びその双対 $\mathfrak{w}H_{4n}^*$ を構成すること。
• 生成子と関係式を用いて、$H_{4n}$, $\mathfrak{w}H_{4n}$, $H_{4n}^*$, $\mathfrak{w}H_{4n}^*$ のグリーン環を明示的に記述すること。
• $H_{4n}$ のグリーン環が可換であっても、$\mathfrak{w}H_{4n}^*$ のグリーン環が非可換である理由を分析すること。

提案手法

• 原始的 $2n$-乗根 $q$ を用いて生成子と関係式で $H_{4n}$ を定義し、非点的で非半単純なホップ代数としての構造を確立する。
• 生成子の代数的関係を用いて、明示的にすべての普遍 $R$-行列を構成することで、$H_{4n}$ が quasi-triangular であることを証明する。
• $H_{4n}$ から標準的構成法を用いて、余乗法と余単位を弱構造へ拡張することで、弱ホップ代数 $\mathfrak{w}H_{4n}$ を構成する。
• 非分解型加群のテンソル積を分析し、同型類の間の関係を同定することで、グリーン環 $r(H_{4n})$ を明示的に計算する。
• 非分解型加群に対応する生成子と、加群分解から導かれる関係式を用いて、表現環 $r(\mathfrak{w}H_{4n})$ 及びその双対 $r(\mathfrak{w}H_{4n}^*)$ を構成する。
• 自由非可換代数の商環としての同型を確立し、$I$ を明示的な関係式で生成されるイデアルとする。これにより、$r(\mathfrak{w}H_{4n}^*)$ の構造を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非点的で非半単純なホップ代数 $H_{4n}$（次元 $4n$）は quasi-triangular であるか？ もしそうであれば、その普遍 $R$-行列は何か？
• RQ2 $H_{4n}$ から弱ホップ代数 $\mathfrak{w}H_{4n}$ をどのように構成できるか？ また、その表現論的性質は何か？
• RQ3 弱ホップ代数の双対 $\mathfrak{w}H_{4n}^*$ のグリーン環 $r(\mathfrak{w}H_{4n}^*)$ の構造は何か？ また、$H_{4n}$ のそれとはどのように異なるか？
• RQ4 なぜ $r(H_{4n})$ が可換であっても、$r(\mathfrak{w}H_{4n}^*)$ は非可換なのであろうか？

主な発見

• $H_{4n}$ は quasi-triangular であり、そのすべての普遍 $R$-行列は、生成子および原始的 $2n$-乗根 $q$ を用いて明示的に記述される。
• $\mathfrak{w}H_{4n}$ は $H_{4n}$ から構成され、その表現環 $r(\mathfrak{w}H_{4n})$ は生成子と関係式を用いて記述される。
• $r(H_{4n})$ は可換であるが、弱ホップ代数の双対 $\mathfrak{w}H_{4n}^*$ のグリーン環 $r(\mathfrak{w}H_{4n}^*)$ は非可換であり、これは重要な構造的差異である。
• $r(\mathfrak{w}H_{4n}^*)$ は、$I$ を $Y^2-1$, $Z^2-Z-YZ$, および $X_j$-関係式によって生成されるイデアルとするとき、商環 $\mathbb{Z}\langle Y,Z,X_j,W\rangle/I$ に同型である。
• $r(\mathfrak{w}H_{4n}^*$ の $\mathbb{Z}$-基底は、$\{a_j, b^i c^k \mid 1\leq j\leq n-1, i,k=0,1\} \cup \{b^i d \mid i=0,1\}$ で与えられる。ここで $b = M[1,n]$, $c = M[2,0]$, $a_j = P_j$, $d = N_0$ である。
• $r(\mathfrak{w}H_{4n}^*)$ は $b$, $c$, $d$, $a_j$ によって生成され、非可換性は商環における関係式 $X_1 Y - Y X_1 \neq 0$ 及び $X_1 W - W Y \neq 0$ に起因する。