[論文レビュー] On A-tensors in Riemannian geometry

Włodzimierz Jelonek|ArXiv.org|Feb 18, 2008

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 10被引用数 6

ひとこと要約

この論文は、ケーラー＝アインシュタイン多様体上のS¹バンドルを用いて、コンパクトかつ完全で、局所的に非一様な適切な𝒜多様体の明示的例を構成する。N. KoisoとY. Sakaneの非一様ケーラー＝アインシュタイン多様体およびE. Calabiの完全な例を活用することで、特定の計量を備えたこれらのS¹バンドルが適切な𝒜多様体をもたらすことを示し、3より大きい奇数次元におけるこのような多様体の存在についての未解決問題を解決する。

ABSTRACT

We present examples, both compact and non-compact complete, of lo- cally non-homogeneous proper A-manifolds.

研究の動機と目的

• コンパクトかつ完全で、局所的に非一様な適切な𝒜多様体の明示的例を構成すること。
• 文献[1]の問題16.56(i)を解決すること。この問題は、3より大きい奇数次元におけるこのような多様体の存在を問うものである。
• 非一様ケーラー＝アインシュタイン多様体上のS¹バンドルを用いることで、同調空間を越えた𝒜多様体のクラスを拡張すること。
• 幾何的構成を通じて、非一様な設定においてもリッチテンソルの条件∇ρ(X,X,X)=0が成立しうることを示すこと。

提案手法

• ケーラー＝アインシュタイン多様体(M,g*,J)上のS¹バンドルPを構成し、接続形式θがdθ = -αp*ωを満たすようにする。
• パrameter cを用いてP上の計量gを定義し、固有値λとμをもつリッチテンソルSを得る。
• Sが適切な𝒜テンソル（つまり∇S ≠ 0）であるための条件c² ≠ 4n/((n+1)τ*)を用いる。
• 曲率および接続の解析を通じて、結果として得られる多様体(P,g_c)がすべてのXに対して𝒜条件∇Φ(X,X,X) = 0を満たすことを証明する。
• Koiso-SakaneおよびCalabiの非一様ケーラー＝アインシュタイン多様体に関する結果を応用し、同調度と完全性を保証する。
• リッチテンソルが要求される微分条件を満たすことを確認することで、結果として得られる(P,g_c)が適切な𝒜多様体であることを検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 局所的に非一様で、コンパクトまたは完全な適切な𝒜多様体が存在しうるか？
• RQ2 非一様ケーラー＝アインシュタイン多様体上のS¹バンドルが、適切な計量選択のもとで適切な𝒜多様体をもたらすか？
• RQ3 3より大きい奇数次元において、局所的に一様でない適切な𝒜多様体を構成することは可能か？
• RQ4 パラメータcのどのような条件が、∇Sを0としない状態でリッチテンソルが𝒜条件を満たすか？
• RQ5 基底ケーラー＝アインシュタイン多様体の同調度が、S¹バンドルの全空間にどのように伝わるか？

主な発見

• 任意のd ∈ ℕに対して、Koiso-Sakaneのケーラー＝アインシュタイン多様体上のS¹バンドルを用いて、同調度dのコンパクトで局所的に非一様な適切な𝒜多様体が明示的に構成可能である。
• 任意の奇数次元m > 3に対して、完全で局所的に非一様な適切な𝒜多様体が構成され、文献[1]の問題16.56(i)が解決された。
• c² ≠ 4n/((n+1)τ*)のとき、S¹バンドル(P,g_c)は適切な𝒜多様体であり、リッチテンソルSは固有ベクトル場に対して∇S(X,X) = -½∇λ∥X∥²を満たす。
• c² = 4n/((n+1)τ*)のとき、P上でエインシュタイン計量の族が得られるが、これらは適切性を保証するため除外される。
• 基底多様体(M,g*)の同調度は全空間(P,g_c)に保たれるため、非一様な基底は非一様な𝒜多様体をもたらす。
• ケーラー＝アインシュタイン基底が負のスカラー曲率を持つ場合、結果として得られる(P,g_c)は次元2n+1 ≥ 5の完全で、局所的に非一様な適切な𝒜多様体である。