[论文解读] On Approximating the Number of $k$-cliques in Sublinear Time

Talya Eden, Dana Ron+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 16, 2017

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 50被引用 4

一句话总结

该论文提出了一种亚线性时间算法，通过度数、邻居和配对查询来近似图中 $k$-团的数量。它在期望查询和运行时间复杂度为 $O\left(\frac{n}{C_k^{1/k}} + \frac{m^{k/2}}{C_k}\right) \cdot \text{poly}(\log n, 1/\epsilon, k)$ 的条件下实现了 $(1+\epsilon)$-近似，该复杂度在对数因子范围内是最优的，并且当 $C_k = \omega(m^{k/2 - 1})$ 时为亚线性。该方法通过高阶顶点采样引入了一种新颖的 $k$-团采样过程，并对涉及高阶和低阶顶点的团进行了平衡估计。

ABSTRACT

We study the problem of approximating the number of $k$-cliques in a graph when given query access to the graph. We consider the standard query model for general graphs via (1) degree queries, (2) neighbor queries and (3) pair queries. Let $n$ denote the number of vertices in the graph, $m$ the number of edges, and $C_k$ the number of $k$-cliques. We design an algorithm that outputs a $(1+\varepsilon)$-approximation (with high probability) for $C_k$, whose expected query complexity and running time are $O\left(\frac{n}{C_k^{1/k}}+\frac{m^{k/2}}{C_k} ight)\poly(\log n,1/\varepsilon,k)$. Hence, the complexity of the algorithm is sublinear in the size of the graph for $C_k = ω(m^{k/2-1})$. Furthermore, we prove a lower bound showing that the query complexity of our algorithm is essentially optimal (up to the dependence on $\log n$, $1/\varepsilon$ and $k$). The previous results in this vein are by Feige (SICOMP 06) and by Goldreich and Ron (RSA 08) for edge counting ($k=2$) and by Eden et al. (FOCS 2015) for triangle counting ($k=3$). Our result matches the complexities of these results. The previous result by Eden et al. hinges on a certain amortization technique that works only for triangle counting, and does not generalize for larger cliques. We obtain a general algorithm that works for any $k\geq 3$ by designing a procedure that samples each $k$-clique incident to a given set $S$ of vertices with approximately equal probability. The primary difficulty is in finding cliques incident to purely high-degree vertices, since random sampling within neighbors has a low success probability. This is achieved by an algorithm that samples uniform random high degree vertices and a careful tradeoff between estimating cliques incident purely to high-degree vertices and those that include a low-degree vertex.

研究动机与目标

• 设计一种在具有查询访问权限的一般图中近似 $k$-团数量的亚线性时间算法。
• 解决高效采样 $k$-团的挑战，特别是涉及高阶顶点的团，因为在标准随机邻居采样中成功概率较低。
• 将先前针对三角形计数（$k=3$）的亚线性算法推广到任意 $k \geq 3$ 的情形。
• 实现查询和运行时间复杂度在 $n$、$1/\epsilon$ 和 $k$ 的多对数因子范围内基本最优。

提出的方法

• 该算法通过对大小为 $\widetilde{O}(n / C_k^{1/k})$ 的集合 $S$ 中的顶点进行均匀采样，通过采样顶点上 $c_k(u)$ 的总和来估计 $k$-团的总数。
• 提出了一种新颖的采样过程，通过聚焦于高阶顶点并平衡混合度顶点的团，确保每个 $k$-团被采样的概率大致相等。
• 一个关键组件是采样均匀随机高阶顶点并估计与之关联的团的算法，利用仅含高阶顶点的团与至少包含一个低阶顶点的团之间的权衡。
• 该方法采用递归加倍策略，结合对 $C_k$ 和 $m$ 的估计进行基于置信度的搜索，使用一个误差和运行时间可控的黑箱子程序进行团近似。
• 通过在 $C_k$ 和 $m$ 的估计值上进行几何搜索，避免对先验知识的依赖，从而确保对初始不准确性的鲁棒性。
• 通过集中不等式和对 $k$-团分布与度数阈值结构的精心设计分析，建立了理论保证，涵盖期望查询和运行时间。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否将针对三角形计数（$k=3$）的亚线性时间近似推广到一般图中任意 $k$-团计数？
• RQ2 在标准查询模型（包含度数、邻居和配对查询）下，近似 $C_k$ 的最优查询复杂度是什么？
• RQ3 当随机邻居采样的成功概率因高阶顶点而较低时，如何使 $k$-团采样更加高效？
• RQ4 估计与高阶顶点相关的团与涉及低阶顶点的团之间存在何种权衡？
• RQ5 所提算法的查询复杂度在 $k$-团近似中是否渐近最优？

主要发现

• 该算法以高概率实现了 $(1+\epsilon)$-近似，期望查询复杂度为 $O\left(\frac{n}{C_k^{1/k}} + \min\left\{\frac{m^{k/2}}{C_k}, m\right\} \right) \cdot \text{poly}(\log n, 1/\epsilon, k)$。
• 运行时间为 $O\left(\frac{n}{C_k^{1/k}} + \frac{m^{k/2}}{C_k}\right) \cdot \text{poly}(\log n, 1/\epsilon, k)$，当 $C_k = \omega(m^{k/2 - 1})$ 时在图大小上为亚线性。
• 该算法的查询复杂度基本最优，与下界 $\Omega\left(\frac{n}{C_k^{1/k}} + \min\left\{\frac{m^{k/2}}{C_k \cdot (c k)^k}, m\right\} \right)$ 在对数和多项式因子范围内一致。
• 该方法通过引入一种在高阶和低阶顶点之间实现平衡且均匀的 $k$-团采样策略，克服了以往摊销技术的局限性。
• 该算法对未知的 $C_k$ 和 $m$ 具有鲁棒性，通过几何搜索和中位数估计实现准确结果，而无需先验知识。
• 分析表明，即使 $m$ 和 $C_k$ 的初始估计不准确，由于采用了递归加倍和基于置信度的精炼策略，期望查询和运行时间仍保持在所述范围内。