[论文解读] On Endomorphism Rings of Local Cohomology Modules

Waqas Mahmood|arXiv (Cornell University)|Aug 12, 2013

Commutative Algebra and Its Applications参考文献 8被引用 5

一句话总结

本文在完全的科恩-麦克aulay局部环 $ R $ 下，建立了自然同态 $ R \to \operatorname{Hom}_R(H^c_I(K_R), H^c_I(K_R)) $ 为同构的条件，其中 $ K_R $ 为对偶模，$ c = \operatorname{grade}(I) $。该研究将 Hellus、Stückrad 与 Schenzel 的先前结果推广至对偶模及有限生成模，利用局部对偶与 Matlis 对偶，证明当上同调消去条件成立时，局部上同调模的自同态环同构于 $ R $。

ABSTRACT

Let I be an ideal of a Complete Cohen-Macaulay local ring R of dimension n. We wil show that the natural homomorphism Rto HomR(HcI(KR), HcI(KR)) is an isomorphism provided that I is a cohomologically compltete intersection ideal of grade c where KR (resp. HiI(.)) denote the canonical module (resp. i-th local cohomology with respect to the ideal I) of R. The same result is true for the Matlis dual of HcI(KR).

研究动机与目标

• 将已知的局部上同调模自同态环同构结果从 $ M = R $ 的情形推广至对偶模 $ K_R $ 与任意有限生成模 $ M $。
• 建立自然映射 $ R \to \operatorname{Hom}_R(H^c_I(M), H^c_I(M)) $ 在 $ M = K_R $ 与一般 $ M $ 时为同构的条件。
• 研究嵌套理想 $ J \subset I $ 且具有相同阶数时，局部上同调模自同态环之间自然同态的行为。
• 将自同态环同构于 $ R $ 的结果推广至局部上同调模的 Matlis 对偶。

提出的方法

• 利用局部对偶与 Matlis 对偶，将 $ H^c_I(M) $ 与其对偶 $ D(H^c_I(M)) $ 关联，尤其针对 $ M = K_R $ 的情形。
• 应用通过 $ \operatorname{Tor} $-模的消失性来判断阶数的准则，以比较具有相同阶数的嵌套理想 $ J \subset I $ 的局部上同调。
• 构造自然同态 $ \operatorname{Hom}_R(H^c_J(M), H^c_J(M)) \to \operatorname{Hom}_R(H^c_I(M), H^c_I(M)) $，其中 $ J \subset I $ 且 $ \operatorname{grade}(I,M) = \operatorname{grade}(J,M) = c $。
• 证明当对所有满足 $ \operatorname{depth}_{R_\mathfrak{p}}(M_\mathfrak{p}) \leq c $ 的 $ \mathfrak{p} \in V(J) \cap \operatorname{Supp}_R(M) $，有 $ \operatorname{Rad}(IR_\mathfrak{p}) = \operatorname{Rad}(JR_\mathfrak{p}) $ 时，该自然同态为同构。
• 利用涉及 $ \operatorname{Hom}_R(H^c_I(M), H^c_I(M)) $ 与 $ \operatorname{Hom}_R(D(H^c_I(M)), D(H^c_I(M))) $ 的交换图表，通过对偶性传递同构性质。
• 利用如下事实：在适当的消去条件下，$ R \to \operatorname{Hom}_R(H^c_I(M), H^c_I(M)) $ 为同构当且仅当其 Matlis 对偶也满足同构。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于完全的科恩-麦克aulay局部环 $ R $ 与理想 $ I $，自然同态 $ R \to \operatorname{Hom}_R(H^c_I(K_R), H^c_I(K_R)) $ 在何种条件下为同构？
• RQ2 当 $ J \subset I $ 且 $ \operatorname{grade}(I,M) = \operatorname{grade}(J,M) = c $ 时，自然映射 $ \operatorname{Hom}_R(H^c_J(M), H^c_J(M)) \to \operatorname{Hom}_R(H^c_I(M), H^c_I(M)) $ 在何种条件下成为同构？
• RQ3 当 $ M = K_R $ 时，$ H^c_I(M) $ 与其 Matlis 对偶 $ D(H^c_I(M)) $ 的自同态环有何关系？
• RQ4 在何种条件下，有 $ \operatorname{Ext}^{i-c}(H^c_I(K_R), H^c_I(K_R)) = 0 $ 对所有 $ i \neq c $ 成立？
• RQ5 自然映射 $ H^c_I(K_R) \otimes_R D(H^c_I(K_R)) \to E $ 何时为同构？

主要发现

• 若对所有 $ i \neq c = \operatorname{grade}(I) $，有 $ H^i_I(R) = 0 $，则自然同态 $ R \to \operatorname{Hom}_R(H^c_I(K_R), H^c_I(K_R)) $ 为同构，该结果将 $ R $ 的情形推广至对偶模。
• 当 $ M = K_R $ 时，自同态环 $ \operatorname{Hom}_R(H^c_I(K_R), H^c_I(K_R)) $ 同构于 $ R $，且对所有 $ i \neq c $，有 $ \operatorname{Ext}^{i-c}(H^c_I(K_R), H^c_I(K_R)) = 0 $。
• 若对所有满足 $ \operatorname{depth}_{R_\mathfrak{p}}(M_\mathfrak{p}) \leq c $ 的 $ \mathfrak{p} \in V(J) \cap \operatorname{Supp}_R(M) $，有 $ \operatorname{Rad}(IR_\mathfrak{p}) = \operatorname{Rad}(JR_\mathfrak{p}) $，则自然同态 $ \operatorname{Hom}_R(H^c_J(M), H^c_J(M)) \to \operatorname{Hom}_R(H^c_I(M), H^c_I(M)) $ 为同构。
• Matlis 对偶 $ D(H^c_I(K_R)) $ 满足相同的同构性质：在相同的消去条件下，有 $ R \to \operatorname{Hom}_R(D(H^c_I(K_R)), D(H^c_I(K_R))) $ 为同构。
• 在上同调消去假设下，自然映射 $ H^c_I(K_R) \otimes_R D(H^c_I(K_R)) \to E $ 为同构，且对所有 $ i \neq c $，有 $ \operatorname{Tor}_{i-c}^R(H^c_I(K_R), D(H^c_I(K_R))) = 0 $。
• 自同态环 $ \operatorname{Hom}_R(H^c_I(K_R), H^c_I(K_R)) $ 同构于 $ R $ 的条件，等价于当对相关素理想 $ \mathfrak{p} $ 有 $ \operatorname{Rad}(IR_\mathfrak{p}) = \operatorname{Rad}(JR_\mathfrak{p}) $ 时，$ H^c_J(K_R) $ 的相同性质。