[论文解读] Kawaguchi-Silverman conjecture for endomorphisms on rationally connected varieties admitting an int-amplified endomorphism

Yohsuke Matsuzawa, Shou Yoshikawa|arXiv (Cornell University)|Aug 30, 2019

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 29被引用 6

一句话总结

本文證明了所有具有整放大自同態的光滑有理連通簇上的滿自同態的川口-斯皮爾曼猜想。透過利用等變極小模型程序（MMP）技術並分析自同態作用下纖化結構，作者證明了在 Zariski 稠密軌道下，算術度等於動力度，從而解決了此類簇上的猜想。

ABSTRACT

We prove Kawaguchi-Silverman conjecture for all surjective endomorphisms on every smooth rationally connected variety admitting an int-amplified endomorphism.

研究动机与目标

• 建立具有整放大自同態的光滑有理連通簇上滿自同態的川口-斯皮爾曼猜想。
• 將該猜想的已知結果從阿貝爾簇與超凱勒簇推廣至更廣泛的有理連通簇類。
• 透過專注於纖化為有理連通且基底非無有理曲面的簇，解決非正的 Kodaira 維數情形下的猜想。
• 發展並應用自同態下的等變MMP技術，以控制動力度與算術度的行為。

提出的方法

• 利用孟與張所發展的自同態下的等變極小模型程序（MMP），將問題簡化至幾何結構更簡單的簇。
• 應用覆蓋定理以控制MMP過程中產生的纖化結構。
• 利用整放大自同態保持並放大除子的性質，特別是證明在這些映射下，分歧除子為不可約且 ample。
• 透過反覆應用使維數或 Picard 數嚴格遞減的MMP步驟，對維數與Picard數進行歸納。
• 利用有理連通簇在 Néron-Severi 群中具有平凡 canonical 類的事實，即 $ N^1(X)_\mathbb{Q} = \operatorname{Pic}X_\mathbb{Q} $，以簡化上同調論證。
• 應用有限覆蓋與纖化型收縮下動力度行為的結果，特別是證明條件 $(\ast)$ 沿這些映射上昇。

实验结果

研究问题

• RQ1 所有具有整放大自同態的光滑有理連通簇上的滿自同態是否滿足川口-斯皮爾曼猜想？
• RQ2 等變MMP能否用於將猜想簡化至幾何結構更簡單的簇，如 Q-阿貝爾簇或纖化型收縮？
• RQ3 在MMP框架下，迭代的整放大自同態作用下，分歧除子與除子拉回的行為如何？
• RQ4 MMP過程中哪些纖化會阻礙猜想從輸出簇傳遞至原始簇？
• RQ5 能否透過MMP步驟逐步降低Picard數或維數，以遞歸方式證明猜想？

主要发现

• 川口-斯皮爾曼猜想對所有具有整放大自同態的光滑有理連通簇上的滿自同態均成立。
• 對於所有滿足 $ f $-軌道在 Zariski 拓撲下稠密的點 $ x \in X(\overline{\mathbb{Q}}) $，算術度 $ \alpha_f(x) $ 等於動力度 $ \delta_f $。
• 在MMP過程中，由於整放大自同態所施加的剛性，可能阻礙猜想的纖化不會出現。
• 有理連通簇上迭代整放大自同態的分歧除子為不可約且 $ \pi $-ample，其中 $ \pi $ 為纖化型收縮。
• 條件 $ (\ast) $（確保猜想成立）沿纖化型收縮上昇，從而允許遞歸簡化。
• 透過反覆應用MMP並使Picard數或維數遞減，最終會終止於一個已知成立的基底情形。