[논문 리뷰] On estimating the entropy of shallow circuit outputs

Alexandru Gheorghiu, Matty J. Hoban|arXiv (Cornell University)|2020. 02. 27.

Quantum Computing Algorithms and Architecture참고 문헌 74인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 얕은 고전적 및 양자 회로에서 엔트로피 추정의 계산적 난이도를 조사하며, 심지어 로그 또는 상수 깊이일지라도 엔트로피 추정이 표준 복잡도 가정 하에 여전히 비가역적임을 보여준다. 이는 LWE 문제에서 상수 깊이 고전적 엔트로피 차이(ED$_{O(1)}$)로의 감소를 설정함으로써, 얕은 회로에서 효율적인 엔트로피 추정이 LWE의 가정된 비가역성을 깨뜨릴 수 있음을 시사하며, AdS/CFT 대칭을 통한 양자 중력에 대한 영향을 탐색한다.

ABSTRACT

Estimating the entropy of probability distributions and quantum states is a fundamental task in information processing. Here, we examine the hardness of this task for the case of probability distributions or quantum states produced by shallow circuits. Specifically, we show that entropy estimation for distributions or states produced by either log-depth circuits or constant-depth circuits with gates of bounded fan-in and unbounded fan-out is at least as hard as the Learning with Errors (LWE) problem, and thus believed to be intractable even for efficient quantum computation. This illustrates that quantum circuits do not need to be complex to render the computation of entropy a difficult task. We also give complexity-theoretic evidence that this problem for log-depth circuits is not as hard as its counterpart with general polynomial-size circuits, seemingly occupying an intermediate hardness regime. Finally, we discuss potential future applications of our work for quantum gravity research by relating our results to the complexity of the bulk-to-boundary dictionary of AdS/CFT.

연구 동기 및 목표

• 얕은 고전적 및 양자 회로, 특히 로그 또는 상수 깊이인 회로에서 엔트로피 추정의 계산 복잡도를 분석하는 것.
• 표준 복잡도 이론적 가정 하에 얕은 회로가 엔트로피 추정을 더 쉽게 만들지 않거나 여전히 비가역적인지 판단하는 것.
• 엔트로피 추정, LWE 문제, 그리고 AdS/CFT 대칭을 통한 양자 중력 간의 연결 고리를 탐색하는 것.
• 홀로그래픽 대칭을 사용하여 LWE와 같은 고전적으로 어려운 문제를 양자 시뮬레이션을 통해 해결할 수 있는지의 가능성 평가

제안 방법

• LWE 문제에서 상수 깊이 고전적 엔트로피 차이 문제(ED$_{O(1)}$)로의 감소를 통해, ED$_{O(1)}$를 효율적으로 해결할 경우 LWE의 비가역성이 깨진다는 것을 보여주는 것.
• 양자 회로 기반 엔트로피 차이 문제(QED)와 그 얕은 변형들(QED$_{\textrm{log}}$, QED$_{O(1)}$)의 구축 및 전체 다항식 크기의 회로에 비해 그 복잡도 분석.
• QED의 하미르토니안 형태인 HQED의 도입과 QED에서 HQED로의 감소를 통한 복잡도 분석, 이는 HQED가 회로 기반 QED 문제만큼은 아니지만 최소한 동등하게 어렵다는 것을 보여준다.
• AdS/CFT 대칭을 활용하여, 복사체 관측자가 사건의 지평선 면적을 측정하여 두 CFT 상태를 구분하는 사고 실험을 제안하며, 이 실험을 이중 CFT 해밀토니안에 따른 시간 진화를 통해 양자 컴퓨터에서 시뮬레이션할 수 있음을 제시한다.
• SWAP 테스트를 활용하여 최종 상태를 초깃 상태와 비교하고, 함수가 1대1인지 2대1인지 결과에 따라 판단하는 방법.
• 만약 이러한 양자 실험이 LWE를 효율적으로 해결할 수 있다면, AdS/CFT의 복사체에서 경계로의 매핑이 지수적으로 복잡해야 한다는 추측을 제기한다. 그렇지 않으면 LWE의 가정된 비가역성이 위배된다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 얕은 고전적 회로(로그 또는 상수 깊이)의 출력 엔트로피 추정은 일반적인 다항식 크기의 회로보다 계산적으로 더 쉬운가?
• RQ2 LWE 문제의 난이도는 상수 깊이 고전적 엔트로피 차이 문제(ED$_{O(1)}$)로 감소시킬 수 있는가?
• RQ3 양자 엔트로피 차이 문제(QED)와 그 얕은 변형들(QED$_{\textrm{log}}$, QED$_{O(1)}$) 간의 계산 복잡도 관계는 어떠한가?
• RQ4 AdS/CFT 대칭을 사용하여, 복사체 기하학과 경계 양자 시뮬레이션을 활용해 LWE 문제를 효율적으로 해결할 수 있는 양자 실험을 구성할 수 있는가?
• RQ5 만약 이러한 양자 실험이 LWE 문제를 성공적으로 해결할 수 있다면, 홀로그래픽 복사체에서 경계로의 매핑은 지수적으로 복잡해야 하는가?

주요 결과

• 논문은 LWE 문제에서 상수 깊이 고전적 엔트로피 차이 문제(ED$_{O(1)}$)로의 감소를 증명하며, 이는 얕은 회로에서 효율적인 엔트로피 추정이 LWE의 비가역성을 깨뜨릴 수 있음을 암시한다.
• 일부 유형의 QED에서 QED$_{\textrm{log}}$로의 감소가 존재한다면, 모든 다항식 시간 양자 계산이 로그 깊이에서 수행될 수 있음을 보여, 얕은 회로가 엔트로피 추정을 단순화하지는 않음을 시사한다.
• QED의 하미르토니안 형태인 HQED를 도입하고 QED에서 HQED로의 감소를 제시함으로써, HQED가 회로 기반 QED 문제만큼은 아니지만 최소한 동등하게 어렵다는 것을 보여준다.
• 논문은 AdS/CFT 대칭을 활용하여, 복사체 관측자가 사건의 지평선 면적을 측정하여 두 양자 상태를 구분하는 사고 실험을 구성하며, 이 실험을 양자 컴퓨터에서 시뮬레이션할 경우 LWE 문제를 효율적으로 해결할 수 있다고 제안한다.
• 저자들은 만약 AdS/CFT 복사체에서 경계로의 매핑이 지수적으로 복잡하지 않다면, 이러한 실험이 LWE의 가정된 비가역성을 위반할 것이며, 따라서 이러한 매핑은 효율적으로 계산 가능할 수 없다는 추측을 제기한다.
• 결과적으로, 표준 복잡도 가정 하에, 심지어 상수 또는 로그 깊이의 양자 시스템에서도 엔트로피 비율 추정이 여전히 어렵다는 것이 드러나며, 특히 LWE와 연결될 경우 더욱 그러하다.