[論文レビュー] On greedy algorithms with respect to generalized Walsh system

Sergo A. Episkoposian|arXiv (Cornell University)|Sep 17, 2011

Mathematical Analysis and Transform Methods参考文献 10被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、一般化されたウォルシュ系 $ a \geq 2 $ が $ L^1[0,1] $ において準 greedy 基底でないことを、$ L^1[0,1] $ 内の関数 $ f $ を構成することで証明している。この関数に対して、この系に関する greedy アルゴリズムは $ L^1 $-ノルムで収束しない。証明は、適切に選ばれたフーリエ係数を持つ関数を構築し、連続する greedy 近似の差の $ L^1 $-ノルムを分析することで行われ、一般化されたウォルシュのディリクレ核の成長により、このノルムが 0 から離れたまま保たれることを示している。

ABSTRACT

In this paper we proof that there exists a function f(x) belongs to L^1[0,1] such that a greedy algorithm with regard to generalized Walsh system does not converge to f(x) in L^1[0,1] norm, i.e. the generalized Walsh system is not a quasi-greedy basis in its linear span L^1[0,1].

研究の動機と目的

• 一般化されたウォルシュ系に関する greedy アルゴリズムの $ L^1[0,1] $ での収束を調査すること。
• 一般化されたウォルシュ系が $ L^1[0,1] $ の線形包において準 greedy 基底をなすかどうかを特定すること。
• greedy アルゴリズムが $ L^1 $-ノルムで収束しないような、特定の関数 $ f \in L^1[0,1] $ を構成すること。
• 連続する greedy 近似の差の $ L^1 $-ノルムが 0 から離れたまま保たれることを示し、収束しないことを示すこと。

提案手法

• 特定の dyadic 開区間内のインデックス $ i $ に対して、$ a_i(f) = \frac{1}{i^2} + \frac{1}{2^i} $ と定義されたフーリエ係数を持つ関数 $ f \in L^1[0,1] $ を構築する。
• 一般化されたウォルシュ系 $ \Psi_a $ に関する greedy 近似 $ G_m(f, \Psi_a) $ を、$ f $ のフーリエ係数の絶対値が最大の $ m $ 個の和として定義する。
• 一般化されたウォルシュ系のディリクレ核 $ D_m(x) $ を用いて、差 $ \|G_{n_k}(f, \Psi_a) - G_{n_{k+1}}(f, \Psi_a)\|_{L^1} $ の $ L^1 $-ノルムを分析する。
• 列 $ \{n_k\} $ が存在し、$ \int_0^1 |D_{n_k}(x)| dx > \frac{1}{2a} \log_a n_k $ を満たすという補題を用い、ノルムが対数的に増加することを保証する。
• 下界として $ \frac{1}{4a} - 2^{-a^{(k-1)^2 + 1}} $ を $ L^1 $-ノルムの差に与え、$ k $ が十分に大きい場合には 0 から離れたまま保たれることを示す。
• greedy 近似の列が $ L^1[0,1] $ でコーシー列でないことが結論づけられ、したがって収束しない。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一般化されたウォルシュ系に関する greedy アルゴリズムは、すべての $ f \in L^1[0,1] $ に対して $ L^1[0,1] $-ノルムで収束するか？
• RQ2 一般化されたウォルシュ系 $ a \geq 2 $ は $ L^1[0,1] $ において準 greedy 基底であるか？
• RQ3 関数 $ f \in L^1[0,1] $ を構成して、その一般化されたウォルシュ基底における greedy 近似が $ L^1 $-ノルムで収束しないようにできるか？
• RQ4 一般化されたウォルシュのディリクレ核の $ L^1 $-ノルムは、greedy アルゴリズムの収束挙動にどのような役割を果たすか？

主な発見

• 関数 $ f \in L^1[0,1] $ が存在し、一般化されたウォルシュ系に関する greedy アルゴリズムが $ f $ に対して $ L^1[0,1] $-ノルムで収束しない。
• 一般化されたウォルシュ系 $ \Psi_a $（$ a \geq 2 $）は、$ L^1[0,1] $ の線形包において準 greedy 基底でない。
• 連続する greedy 近似の差の $ L^1 $-ノルムは、無限に多くの $ k $ に対して正の定数 $ C_1 > 0 $ で下から抑えられ、特に $ k \geq 4 $ に対して $ C_1 \geq \frac{1}{4a} $ が成り立つ。
• 発散は、一般化されたウォルシュのディリクレ核 $ D_m(x) $ の $ L^1 $-ノルムの対数的成長に起因し、これが近似誤差の下界を定める。
• 係数 $ \frac{1}{k^2} + \frac{1}{2^i} $ を持つ $ f $ の構成により、ディリクレ核が大きい区間で $ L^1 $-質量の大部分が greedy 選択によって捉えられるよう保証される。
• greedy 近似の差の $ L^1 $-ノルムは、$ \frac{1}{2a k^2} \log_a m_k - 2^{-a^{(k-1)^2 + 1}} $ で下から抑えられ、この式は $ k \to \infty $ のとき $ \frac{1}{4a} $ に収束する。これにより非収束が証明される。