[論文レビュー] ON INTERVALS (kn,(k + 1)n) CONTAINING A PRIME FOR ALL n > 1

Vladimir Shevelev, Charles R. Greathouse+1 more|arXiv (Cornell University)|Dec 12, 2012

graph theory and CDMA systems参考文献 16被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、すべての正の整数 k に対して、k = 1, 2, 3, 5, 9, 14 のみが、すべての n > 1 に対して区間 (kn, (k+1)n) に少なくとも1つの素数を含む性質を持つことを証明している。このことは k ≤ 50,000,000 まで確認されている。著者らは一般化されたラマヌジャン素数を導入し、チェビシェフ関数および素数計数関数の境界を用いて、(kn, (k+1)n) に少なくとも m 個の素数を含むようになる最小の N_k(m) の有効な上界を導出している。

ABSTRACT

We study values of k for which the interval (kn,(k+1)n) contains a prime for every n>1. We prove that the list of such integers k includes k=1,2,3,5,9,14, and no others, at least for k<=50,000,000. For every known k of this list, we give a good upper estimate of the smallest N_k(m), such that, if n>=N_k(m), then the interval (kn,(k+1)n) contains at least m primes.

研究の動機と目的

• すべての n > 1 に対して区間 (kn, (k+1)n) に少なくとも1つの素数を含むような整数 k を特定すること。
• 各有効な k に対して、(kn, (k+1)n) が n ≥ N_k(m) のとき常に少なくとも m 個の素数を含むようになる最小の N_k(m) の有効な上界を確立すること。
• 任意の v > 1 に対して、v-ラマヌジャン数および v-チェビシェフ数を用いて、ラマヌジャンの素数計数法を一般化すること。
• 計算的に、50,000,000 以下の k に対して、与えられた素数を含む区間条件を満たすのは、既知のリスト以外に存在しないことを確認すること。

提案手法

• v-Ramanujan 数 R_v(m) を、π(x) − π(x/v) ≥ m を満たす最小の x として定義する。
• v-Chebyshev 数 C_v(m) を、ϑ(x) − ϑ(x/v) ≥ m ln x を満たす最小の x として定義する。ここで ϑ はチェビシェフ関数である。
• Dusart が得た |ϑ(x) − x| の明示的境界を用いて、C_v(m) および R_v(m) の上界を導出し、N_k(m) の計算可能な上界を得る。
• 有限降下法と区間被覆技術を適用して、既知の素数分布定理を用いて m ≥ 1 の N_k(m) を計算する。
• 算術級数内の素数に関する結果を活用し、素数の部分集合 P に対して (v, P)-Ramanujan 数を定義することで、制限された素数集合への手法の拡張を行う。
• k ≤ 50,000,000 まで広範な数値計算を実施し、n > 1 のすべての n に対して素数を含む区間条件を満たすのは k = 1, 2, 3, 5, 9, 14 のみであることを確認した。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どの正の整数 k に対して、すべての n > 1 に対して (kn, (k+1)n) に少なくとも1つの素数が含まれるか？
• RQ2 そのような k に対して、n ≥ N_k(m) のとき (kn, (k+1)n) に少なくとも m 個の素数が含まれる最小の N_k(m) は何か？
• RQ3 一般化されたラマヌジャン素数の手法を、算術級数内の素数といった素数の部分集合へ拡張できるか？
• RQ4 チェビシェフ関数の明示的境界を用いて、R_v(m) および C_v(m) の有効な上界をどのように導出できるか？
• RQ5 k > 14（5000万まで）に対して、素数を含む区間条件を満たす k が存在しないことを計算的に確認できるか？

主な発見

• すべての n > 1 に対して (kn, (k+1)n) に少なくとも1つの素数が含まれる唯一の整数 k は、k = 1, 2, 3, 5, 9, 14 であり、k ≤ 50,000,000 まで確認されている。
• これらの k 値それぞれに対して、(kn, (k+1)n) がすべての n ≥ N_k(m) で少なくとも m 個の素数を含む最小の N_k(m) を計算する明示的公式およびアルゴリズムが提示されている。
• k = 1 の場合、N_1(m) は N_1(m) = (R(m) + 1)/2 で与えられ、ここで R(m) は m 番目のラマヌジャン素数である。
• k = 2 の場合、公式は N_2(m) = ⌊R_{3/2}^{(2)}(m)/3⌋ で与えられ、ここで R_{3/2}^{(2)}(m) は P = {p ≡ 1 mod 3} の (2, P)-Ramanujan 数の m 番目である。
• Dusart の明示的不等式 |ϑ(x) − x| ≤ 1300x / ln⁴x（x ≥ 2）を用いて、v-Ramanujan 数および v-Chebyshev 数の有効な上界が導出されている。
• この手法は素数の部分集合 P へ一般化され、P = {p ≡ 1 mod 3}、{p ≡ 2 mod 3}、{p ≡ 1 mod 4}、{p ≡ 3 mod 4} の各集合に対して (2, P)-Ramanujan 数の列が計算され、対応する N_k^{(P)}(m) の列が導出されている。