[论文解读] On Kiselman quotients of 0-Hecke monoids

Olexandr Ganyushkin, Volodymyr Mazorchuk|arXiv (Cornell University)|Jun 2, 2010

semigroups and automata theory参考文献 25被引用 21

一句话总结

本文引入了与单连通 Dynkin 图相关的 0-Hecke 半群的 Kiselman 商，结合了 0-Hecke 半群的 braid 关系与 Kiselman 的幂等元关系。该文对这些半群进行了同构分类，证明其为 J-平凡半群，且恰好含有 2^n 个幂等元，并表明在类型 A_n 时，其大小达到第 (n+1) 个 Catalan 数 C_{n+1}，并将其视为链上保序且降序变换的半群。

ABSTRACT

Combining the definition of 0-Hecke monoids with that of Kiselman semigroups, we define what we call Kiselman quotients of 0-Hecke monoids associated with simply laced Dynkin diagrams. We classify these monoids up to isomorphism, determine their idempotents and show that they are $\mathcal{J}$-trivial. For type $A$ we show that Catalan numbers appear as the maximal cardinality of our monoids, in which case the corresponding monoid is isomorphic to the monoid of all order-preserving and order-decreasing total transformations on a finite chain. We construct various representations of these monoids by matrices, total transformations and binary relations. Motivated by these results, with a mixed graph we associate a monoid, which we call a Hecke-Kiselman monoid, and classify such monoids up to isomorphism. Both Kiselman semigroups and Kiselman quotients of 0-Hecke monoids are natural examples of Hecke-Kiselman monoids.

研究动机与目标

• 通过有向 Dynkin 图将 0-Hecke 半群与 Kiselman 半群结合，定义并研究一类新的半群。
• 根据底层有向图，对这些半群进行同构分类。
• 确定结构性质，如 J-平凡性、幂等元数量以及生成系。
• 探索与 Catalan 数及类型 A 中已知变换半群的联系。
• 将构造推广至混合图，定义 Hecke-Kiselman 半群，并建立其同构分类。

提出的方法

• 通过在有向 Dynkin 图中满足 i→j 时添加关系 ε_i ε_j ε_i = ε_j ε_i ε_j = ε_i ε_j，对 0-Hecke 半群进行商化，定义 Kiselman 商。
• 利用 0-Hecke 半群的 braid 关系与 Kiselman 的幂等元交换关系，定义一种混合半群结构。
• 利用格林 J-关系在所施加关系下坍缩的事实，证明 J-平凡性。
• 通过不可约性与最小性论证，确立 canonical 生成集 {ε_i} 的唯一性。
• 构造子图关联的 Hecke-Kiselman 半群之间的 canonical 单同态，从而实现同构分类。
• 为混合图定义 Hecke-Kiselman 半群，并证明半群的同构蕴含底层图的同构。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，0-Hecke 半群的 Kiselman 商是同构的？哪些图论不变量决定了这一同构？
• RQ2 类型 A_n 的 0-Hecke 半群的 Kiselman 商的最大大小是多少？何时达到这一最大值？
• RQ3 这些半群的幂等元与生成系的行为如何？canonical 生成集是否唯一？
• RQ4 底层有向图的结构与半群的性质（如 J-平凡性与有限性）之间存在何种关系？
• RQ5 0-Hecke 半群与 Kiselman 半群的构造如何在 Hecke-Kiselman 半群的更广类中统一？

主要发现

• 对于任意单连通 Dynkin 图 Γ 的任意定向，Kiselman 商半群 K H_Γ→ 是 J-平凡的。
• 该半群恰好含有 2^n 个幂等元，其中 n 为 Γ 中顶点的数量。
• canonical 生成元 {ε_i} 构成该半群唯一的不可约生成系。
• 在类型 A_n 时，K H_Γ→ 的最大大小为第 (n+1) 个 Catalan 数 C_{n+1}，且当且仅当定向为线性时（即有向路径）达到该最大值。
• 在类型 A 中大小最大的情况下，该半群同构于大小为 n+1 的链上所有保序且降序的全变换构成的半群。
• 与混合图关联的 Hecke-Kiselman 半群同构，当且仅当其底层图同构。