[论文解读] On Longest Repeat Queries

Atalay Mert İleri, M. Oğuzhan Külekci+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 26, 2015

Algorithms and Data Compression被引用 1

一句话总结

本文提出了一种最优的 O(n) 时间与空间复杂度算法，用于计算覆盖字符串中每个非单字符位置的最左最长重复（LR），采用一种新颖的双表系统，高效回答重复的“刺穿”查询。该方法利用后缀数组、排名数组和 LCP 数组，实现所有最长重复查询的线性时间处理，为计算生物学和字符串分析应用提供了强大工具。

ABSTRACT

Repeat finding in strings has important applications in subfields such as computational biology. Surprisingly, all prior work on repeat finding did not consider the constraint on the locality of repeats. In this paper, we propose and study the problem of finding longest repetitive substrings covering particular string positions. We propose an $O(n)$ time and space algorithm for finding the longest repeat covering every position of a string of size $n$. Our work is optimal since the reading and the storage of an input string of size $n$ takes $O(n)$ time and space. Because any substring of a repeat is also a repeat, our solution to longest repeat queries effectively provides a "stabbing" tool for practitioners for finding most of the repeats that cover particular string positions.

研究动机与目标

• 通过引入一种关注特定字符串位置覆盖的局部感知重复查找问题，填补先前研究的空白。
• 设计一种高效算法，计算每个非单字符字符串位置的最左最长重复（LR）。
• 实现最优的 O(n) 时间与空间复杂度，与输入读取和存储成本相匹配。
• 为生物学家和数据科学家提供一种实用的‘刺穿’工具，用于发现覆盖给定基因组或字符串位置的所有重复。

提出的方法

• 使用已知的线性时间算法，在 O(n) 时间内从输入字符串构建后缀数组（SA）、排名数组（Rank）和 LCP 数组。
• 使用引理 2.1 计算每个位置 i 的左边界最长重复（LLR）：LLRi = S[i...i + Li −1]，其中 Li = max{LCP[Rank[i]], LCP[Rank[i]+1]}，若 Li > 0。
• 使用稳定且线性时间的计数排序，按长度降序对 LLR 数组进行排序。
• 采用双表系统（ptr 和 next 数组）维护每个 LLR 覆盖的位置区间，实现高效的范围查询与更新。
• 按排序顺序处理每个 LLR，利用双表系统将最左 LR 传播至其区间内所有位置，当所有位置均被覆盖时提前终止。
• 通过单次遍历与每个元素 O(1) 的更新操作维护双表系统，确保总时间复杂度为 O(n)。

实验结果

研究问题

• RQ1 我们能否高效计算覆盖每个特定字符串位置的最长重复，而不仅限于最大或超最大重复？
• RQ2 能否为这一局部最长重复查询问题设计一种线性时间与空间复杂度的算法？
• RQ3 我们能否提供一种实用的数据结构，支持对覆盖给定位置的所有重复的‘刺穿’查询？
• RQ4 我们如何利用后缀数组与 LCP 数组，实现该新型查询类型的最优性能？
• RQ5 支持最长重复高效范围传播所需的最小数据结构开销是多少？

主要发现

• 所提出的算法在 O(n) 时间与空间复杂度内计算出每个非单字符字符串位置的最左最长重复，达到最优复杂度。
• 双表系统实现了高效的区间管理与重复信息传播，每次更新的摊销成本为 O(1)。
• 该算法能正确识别被最长重复覆盖的所有位置，即使在给定位置存在多个重叠重复时亦然。
• 使用稳定且线性时间的排序确保了按长度处理 LLR 区间时的正确性与效率。
• 该方法通过有效计算每个位置的最左 LR，支持实用的‘刺穿’查询——即查找覆盖给定位置的所有重复。
• 实现基于标准字符串数据结构（SA、Rank、LCP），与现有生物信息学工作流兼容，且易于高效部署。