[論文レビュー] On minors of maximal determinant matrices

Richard P. Brent, Judy-anne H. Osborn|arXiv (Cornell University)|Aug 19, 2012

graph theory and CDMA systems参考文献 32被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、最大行列式の{±1}-行列の小行列を調査し、Cohnのヘッダーマン行列に関する結果を拡張して、ヘッダーマン予想を仮定すると、最大行列式の部分行列の次数mが区間[n/2 + 5 log n, n-2]に含まれないことを示している。また、k×k小行列の平均二乗行列式の下界に関する予想を提示し、n ≤ 21のすべての次数について小行列の網羅的表を提供するとともに、組合せ的再帰とメモリ最適化を用いた効率的なアルゴリズム（特にアルゴリズムD）を詳述している。

ABSTRACT

By an old result of Cohn (1965), a Hadamard matrix of order n has no proper Hadamard submatrices of order m > n/2. We generalise this result to maximal determinant submatrices of Hadamard matrices, and show that an interval of length asymptotically equal to n/2 is excluded from the allowable orders. We make a conjecture regarding a lower bound for sums of squares of minors of maximal determinant matrices, and give evidence in support of the conjecture. We give tables of the values taken by the minors of all maximal determinant matrices of orders up to and including 21 and make some observations on the data. Finally, we describe the algorithms that were used to compute the tables.

研究の動機と目的

• ヘッダーマン行列の最大行列式部分行列に関するCohnの結果を、ヘッダーマン行列の最大行列式部分行列へ一般化すること。
• n ≤ 21の最大行列式行列における小行列の構造と分布を調査すること。
• 最大行列式行列のk×k小行列の平均二乗行列式に対する下界を予想すること。
• 最適化されたアルゴリズムを用いて、n = 1 から 21 までのすべての最大行列式行列の小行列を計算・表にすること。
• {±1}-行列における小行列を列挙するための効率的な計算手法の開発と評価を行うこと。

提案手法

• Cohnの元の結果から一般化された証明技法を用いて、ヘッダーマン行列内の最大行列式部分行列の可能な次数に上限を設定する。
• ヘッダーマン予想を適用して、最大行列式部分行列のより鋭い除外区間[n/2 + 5 log n, n-2)を導出する。
• アルゴリズムD—ラプラス展開に基づく行選択を伴う再帰的かつメモリ効率の良い手法—を用いて、k行の組み合わせを反復し、より小さい次数の小行列を再帰的に計算することで、次数kの小行列を計算する。
• スパースな異なる小行列値のセットを格納・管理するためのハッシュテーブルデータ構造を実装し、ビットベクトル表現と比較してメモリ使用量を削減する。
• アルゴリズムA（行列式ごとの計算）とアルゴリズムDの両方を用いて小規模なケースで実装を検証し、k ≈ n/2のときより高い性能を示すため、nが大きい場合にはDを優先する。
• HT同値性（転置を含むヘッダーマン同値性）を用いて重複計算を削減し、同値類全体に代表的な結果が得られるように保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 最大行列式行列の次数nに含まれる最大行列式部分行列の次数mとして可能な最大値は何か？
• RQ2 部分行列の次数に対する除外区間はn/2を越えて拡張可能か？また、ヘッダーマン予想にどのように依存するか？
• RQ3 最大行列式行列のk×k小行列の平均二乗行列式に対して普遍的な下界が存在するか？また、ランダムな{±1}-行列におけるm!を上回るか？
• RQ4 1から21までの最大行列式行列において、小行列値の分布にどのようなパターンが現れるか？
• RQ5 n ≤ 21で、メモリと計算コストを管理しながら、すべての小行列を効率的かつ正しく計算するためのアルゴリズム的手法は何か？

主な発見

• ヘッダーマン予想を仮定すると、最大行列式部分行列の次数mが区間[n/2 + 5 log n, n-2)にあることは不可能である。
• ヘッダーマン予想を仮定しない場合でも、長さが約n/2の区間が依然として最大行列式部分行列の次数として不可能であり、具体的には[n/2 + o(n), n - o(n))である。
• 本稿では、n ≤ 21のすべての最大行列式行列について、すべての小行列値の網羅的表を提示しており、特にnが4の倍数の場合、小行列値の集合は疎であることが判明した。
• 最大行列式行列におけるk×k小行列の平均二乗行列式は、各kに対してm!より大きいと予想されており、1 ≤ m ≤ n ≤ 21の計算結果によりこの予想は裏付けられている。
• アルゴリズムDは、k ≈ n/2のときアルゴリズムAよりも著しく高速であり、合計演算回数は4^{n-1}nであり、行の組み合わせに対する並列処理に適している。
• 小行列値を格納するハッシュテーブルの使用により、n=16のときのメモリ要件が131073ビットから約200ワードに削減され、n ≤ 25において実用的な効率性を示した。