[論文レビュー] On smooth self similar solutions to the compressible Euler equations

Frank Merle, Pierre Raphaël+2 more|arXiv (Cornell University)|Dec 23, 2019

Advanced Mathematical Physics Problems参考文献 6被引用数 17

ひとこと要約

本稿は、特定の等温則および臨界値に近づく量子化された速度を満たす条件下で、d > 1次元における可 compressible Euler 方程式に対して、滑らかで C^∞ の自己相似解の存在を確立する。位相図の解析と正則性の活用により、空間的減衰を示す非一般解が構成され、その後続の非線形Schrödinger方程式およびEuler/Navier-Stokes方程式における有限時刻 blowup の解析で線形化作用素の制御が可能になる。

ABSTRACT

We consider the barotropic Euler equations in dimension d>1 with decaying density at spatial infinity. The phase portrait of the nonlinear ode governing the equation for spherically symmetric self-similar solutions has been introduced in the pioneering work of Guderley. It allows to construct global profiles of the self-similar problem, which however turn out to be generically non-smooth across the associated light (acoustic) cone. In a suitable range of barotropic laws and for a sequence of quantized speeds accumulating to a critical value, we prove the existence of non-generic C^\infty self-similar solutions with suitable decay at infinity. The C^\infty regularity is used in a fundamental way in the companion papers \cite{MRRSnls}, \cite{MRRSfluid} to control the associated linearized operator, and construct finite energy blow up solutions of respectively the defocusing nonlinear Schrödinger equation in dimension $5\le d\le9$, and the isentropic ideal compressible Euler and Navier-Stokes equations in dimensions d=2,3.

研究の動機と目的

• d > 1次元における可 compressible Euler 方程式に対する滑らかで C^∞ の自己相似解の構成。
• Guderley型解において一般的に見られる光円錐上での滑らかでない性質を克服し、より優れた正則性を示す非一般解のクラスを同定すること。
• 焦点を当てた非線形Schrödinger方程式および圧縮性流体方程式における有限エネルギー blowup の研究で、線形化作用素を制御する基盤を提供すること。
• このような滑らかな解が存在する、特定の等温則および量子化された速度の範囲を同定すること。

提案手法

• 球対称自己相似解を記述する非線形常微分方程式の位相図の解析により、Guderleyの枠組みを発展させる。
• 滑らかさが達成される、臨界値に近づく離散的集合の速度の特定。
• C^∞ 正則性の適用により、一般的な解とは異なり音響円錐上でも滑らかであることを保証する。
• 漸近的解析および力学系の技法を用いて、解の空間無限遠における挙動を研究する。
• 特定の等温則の下で、無限遠における減衰条件を満たすグローバルなプロファイルの構成。
• 滑らかさの利点を活かし、以降の非線形解析における線形化作用素の制御を可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 可 compressible Euler 方程式に対する滑らかな自己相似解が存在するための等温則および速度に関する条件は何か？
• RQ2 一般的な自己相似解がなぜ光円錐上で滑らかでないのか、そしてその問題をどのように克服できるか？
• RQ3 滑らかで（C^∞）かつ無限遠で減衰する非一般解のクラスを構成可能か？
• RQ4 臨界値に近い速度の量子化が滑らかな解の出現とどのように関係するか？
• RQ5 C^∞ 正則性は、関連する方程式における有限時刻 blowup 解の構成にどのように寄与するか？

主な発見

• 滑らかな C^∞ 自己相似解は、可 compressible Euler 方程式において、臨界値に近づく速度の列に対して存在する。
• これらの解は特定の等温則の下で構成され、空間無限遠で減衰を示す。
• 滑らかさは非一般的であり、臨界値に近い離散的集合の速度でのみ成立する。
• 解は音響円錐上でもグローバルに定義され、正則である。これは一般的な Guderley 型解とは対照的である。
• C^∞ 正則性のおかげで、線形化作用素の制御が可能となり、後続の研究における blowup 構成の重要な要件を満たす。
• 本結果は、焦点を当てた非線形Schrödinger方程式（5 ≤ d ≤ 9）および d = 2, 3 における圧縮性 Euler/Navier-Stokes 方程式における有限エネルギー blowup 解の構成に、基盤的段階を提供する。