[论文解读] On the Complexity of Quadratization for Polynomial Differential Equations

Mathieu Hemery, François Fages+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 17, 2020

Gene Regulatory Network Analysis参考文献 13被引用 12

一句话总结

本文研究了将多项式常微分方程（ODE）转化为等价的二次ODE的计算复杂性——即四次化（quadratization）——这对于仅包含双分子反应的化学反应网络（CRNs）建模至关重要。研究证明，最小化此类变换中的变量数或单项式数均为NP难问题，并提出了一种MAX-SAT编码方法，可高效求解基准实例，包括一个最小化的7物种、11反应CRN，用于实现5阶Hill函数。

ABSTRACT

Chemical reaction networks (CRNs) are a standard formalism used in chemistry and biology to reason about the dynamics of molecular interaction networks. In their interpretation by ordinary differential equations, CRNs provide a Turing-complete model of analog computattion, in the sense that any computable function over the reals can be computed by a finite number of molecular species with a continuous CRN which approximates the result of that function in one of its components in arbitrary precision. The proof of that result is based on a previous result of Bournez et al. on the Turing-completeness of polyno-mial ordinary differential equations with polynomial initial conditions (PIVP). It uses an encoding of real variables by two non-negative variables for concentrations, and a transformation to an equivalent quadratic PIVP (i.e. with degrees at most 2) for restricting ourselves to at most bimolecular reactions. In this paper, we study the theoretical and practical complexities of the quadratic transformation. We show that both problems of minimizing either the number of variables (i.e., molecular species) or the number of monomials (i.e. elementary reactions) in a quadratic transformation of a PIVP are NP-hard. We present an encoding of those problems in MAX-SAT and show the practical complexity of this algorithm on a benchmark of quadratization problems inspired from CRN design problems.

研究动机与目标

• 分析将高次多项式ODE转化为等价二次ODE的计算复杂性，以用于化学反应网络（CRNs）建模。
• 确定在该类变换中最小化分子物种数或基元反应数是否具有计算可解性。
• 开发并评估一种基于MAX-SAT编码的优化算法，用于实际CRN设计。
• 将自动化四次化方法的效率与已知生物网络（如MAPK信号转导通路）进行比较。
• 评估该方法在来自BioModels数据库的真实世界模型上的可扩展性。

提出的方法

• 本文将四次化问题表述为：在与给定PIVP等价的二次ODE系统中，最小化变量数（物种）或单项式数（反应）。
• 通过从已知的NP完全问题进行约化，证明了两种优化变体的NP难性。
• 提出一种MAX-SAT编码来建模四次化问题，从而可利用现成的SAT求解器进行优化。
• 在包含合成与生物ODE系统的20个四次化问题基准上评估该算法。
• 对于来自BioModels的大规模模型，通过剪枝高次单项式来缩减搜索空间，尽管完整实例仍难以求解。
• 该方法通过非负变量对的替换来编码实值变量，从而在仅含双分子反应的CRNs中实现图灵完备性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在PIVP的二次变换中，最小化分子物种数是否具有计算可解性？
• RQ2 在该类变换中，最小化单项式数（基元反应数）是否为NP难问题？
• RQ3 MAX-SAT编码能否有效求解实际的四次化问题，以支持CRN设计？
• RQ4 最小二次系统与已知生物网络（如MAPK通路）相比，其规模如何？
• RQ5 基于MAX-SAT的算法在来自BioModels数据库的真实世界模型上的可扩展性如何？

主要发现

• 在PIVP的二次变换中，最小化变量数或单项式数均为NP难问题，确立了CRN设计中的根本性复杂性障碍。
• MAX-SAT编码在20个基准实例中的19个上成功计算出最优或近似最优的四次化结果，包括5阶Hill函数。
• 对于5阶Hill函数，该算法生成了一个最小化的7物种、11反应CRN，在物种数上优于12物种、10反应的MAPK网络。
• 由于编码规模呈指数增长，该方法在1小时内无法求解完整BioModels实例（如模型123），尽管剪枝策略可实现可处理的解。
• 论文推测，在紧凑的符号表示下，该问题可能为NEXP难，基于最优解可能具有指数规模的潜在推断。
• 本研究证明，四次化不仅是基于CRN的模拟计算在理论上所必需的，而且对许多相关生物ODE在实践中也是可解的。