[论文解读] On the Delay of Network Coding over Line Networks

Theodoros K. Dikaliotis, Alexandros G. Dimakis+2 more|ArXiv.org|Oct 20, 2009

Cooperative Communication and Network Coding参考文献 13被引用 6

一句话总结

本文分析了在具有异构删除链路的线性网络中，随机线性网络编码的端到端延迟。研究证明，延迟函数关于批大小是非递减的，并且其上界由链路删除概率的简单表达式给出；同时，利用鞅集中不等式证明了实际延迟在其期望值附近的紧密集中。

ABSTRACT

We analyze a simple network where a source and a receiver are connected by a line of erasure channels of different reliabilities. Recent prior work has shown that random linear network coding can achieve the min-cut capacity and therefore the asymptotic rate is determined by the worst link of the line network. In this paper we investigate the delay for transmitting a batch of packets, which is a function of all the erasure probabilities and the number of packets in the batch. We show a monotonicity result on the delay function and derive simple expressions which characterize the expected delay behavior of line networks. Further, we use a martingale bounded differences argument to show that the actual delay is tightly concentrated around its expectation.

研究动机与目标

• 表征在链路可靠性不同的线性网络中网络编码的次线性延迟分量。
• 建立延迟函数关于批大小 n 是非递减的，并且其上界由链路删除概率的函数决定。
• 证明实际延迟 T_n 在其期望值附近具有高概率的紧密集中。
• 将先前关于最小割容量的工作扩展至包含丢包网络中有限批大小的延迟行为。

提出的方法

• 建模一个包含 ℓ 个删除链路的线性网络，每个链路具有独立的删除概率 p_i，并在 n 个数据包的批处理中使用随机线性网络编码。
• 推导出期望延迟 E[T_n] = n/(1−max p_i) + D(n, p_1,…,p_ℓ)，其中 D 为次线性延迟分量。
• 基于 Azuma-Hoeffding 不等式，采用鞅有界差分法，证明 T_n 在 E[T_n] 附近的集中性。
• 应用 Doob 的鞅构造方法，对目的地接收到的创新包数量进行偏差概率的上界估计。
• 证明当偏差 ε_n = n^{3/4}/(1−max p_i) 时，T_n 在 E[T_n] 附近具有高概率集中。
• 证明当多个链路具有相同的最差删除概率时，延迟仍为次线性但无界，扩展了关于两跳网络的先前结果。

实验结果

研究问题

• RQ1 在具有异构删除概率的线性网络中，延迟函数 D(n, p_1,…,p_ℓ) 作为批大小 n 的函数如何变化？
• RQ2 延迟函数能否以链路删除概率为参数进行有界表示？其在 n 上是否单调？
• RQ3 对于较大的 n，实际延迟 T_n 在其期望值附近的集中行为如何？
• RQ4 当存在多个最差质量链路时，与唯一最差链路相比，延迟函数有何不同？
• RQ5 随机线性网络编码在无反馈的丢包线性网络中，能在多大程度上实现可预测的延迟性能？

主要发现

• 延迟函数 D(n, p_1,…,p_ℓ) 关于 n 是非递减的，且其上界为 ∑_{i≠m} p_m/(p_m−p_i)，其中 p_m 为最大删除概率。
• 当存在唯一最差链路（p_m）时，延迟函数呈次线性增长，且其上界仅依赖于删除概率的函数。
• 实际延迟 T_n 在其期望值附近紧密集中，满足 P(|T_n − E[T_n]| > ε_n) ≤ 2(1−max p_i)/n + o(1/n)，其中 ε_n = n^{3/4}/(1−max p_i)。
• 对于较大的 n，偏差 ε_n 相对于 E[T_n] 为次线性，意味着 T_n 在 E[T_n] 附近具有高概率集中。
• 当存在多个具有相等最大删除概率的链路时，延迟函数仍为次线性但无界，与先前研究中两跳网络呈现 √n 增长的结果一致。
• 证明了目的地接收到的创新包的期望数量为 A·t − r(t)，其中 A 为常数，r(t) 有界，从而推导出集中性界限。