[論文レビュー] On the local Langlands correspondence for quasi-split even orthogonal groups

Hiraku Atobe, Wee Teck Gan|arXiv (Cornell University)|Feb 3, 2016

Advanced Algebra and Geometry参考文献 39被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、アーバートの表現の分類に基づき、準分裂偶数正規直交群 $\mathrm{O}_{2n}$ における正確な局所 Langlands 対応を確立する。全般的なプラサド予想を証明し、$\mathrm{O}_{2n}$ のための LLC を用いてグロス–プラサド予想を直交群へ拡張する。主な結果は、アーバートの多重度公式および $L$-パケッティング構造から導かれる。

ABSTRACT

In this paper, we highlight and state precisely the local Langlands correspondence for quasi-split O_{2n} established by Arthur. We give two applications: Prasad's conjecture and Gross--Prasad conjecture for O_{n}. Also, we discuss the Arthur conjecture for O_{2n}, and establish the Arthur multiplicity formula for O_{2n}.

研究の動機と目的

• 準分裂 $\mathrm{O}_{2n}(F)$ における正確な局所 Langlands 対応を提示・強調すること。これはアーバートの研究に暗黙的には含まれていたが、完全には強調されていなかった。
• 準分裂 $\mathrm{O}_{2n}(F)$ における $\mathrm{O}_{2n} \times \mathrm{Sp}_{2n}$ および $\mathrm{O}_{2n} \times \mathrm{Sp}_{2n-2}$ の双対ペアに対する局所シータ対応に関するプラサド予想を、$\mathrm{O}_{2n}$ の完全な LLC を用いて完成させること。
• $\mathrm{O}_n$ における局所 GP 予想のフーリエ–ヤコビ系を用いて、グロス–プラサド予想を直交群へ拡張すること。これには、シータ対応および精錬された LLC を用いる。
• $\mathrm{O}_{2n}(F)$ におけるアーバート多重度公式を定式化・証明し、これらの群の自動形式的スペクトル記述を完全化すること。
• $\mathrm{O}_{2n}$ の純粋内型におけるバーゲン $L$-パケッティングを定義・利用し、準分裂の場合を超えた LLC の拡張を図ること。

提案手法

• アーバートの $\mathrm{GL}_N$ へのねじれ内発的転送を用いた $\mathrm{O}_{2n}(F)$ の無限可約表現の分類を、ねじれ跡公式の安定化を活用して用いる。
• $\mathrm{O}_{2n}(F)$ の $L$-パラメータを、Weil–Deligne 群 $\mathrm{WD}_F$ の直交的表現として定義し、$L$-群として $\mathrm{O}_{2n}(\mathbb{C})$ を用いる。
• 局所相互作用関係（仮説 3.10）を主要な技術的道具として確立し、表現の上昇および $L$-パケッティング構造の検証に不可欠な役割を果たす。
• $\mathrm{SO}_{2n}$ にアーバート多重度公式を適用し、表現の制限および $\epsilon$- twisted モジュールの分析によって $\mathrm{O}_{2n}$ へ拡張する。
• $\mathcal{H}(G)$-加群および $\epsilon$-タイプの理論を用いて、自動形式的離散スペクトル $\mathcal{A}_2(\mathrm{O}_{2n})$ の重複度を分析する。
• $\mathcal{H}(\mathrm{O}_{2n})$-加群 $\sigma$ が $\iota_c(\sigma) \circ \Delta = \varepsilon_\Sigma$ を満たすとき、$m(\sigma) = 1$ を証明する。これは制限写像の単射性および Hom 空間の次元の上限を用いる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 アーバートの分類が与えられたもとで、準分裂偶数直交群 $\mathrm{O}_{2n}(F)$ における正確な局所 Langlands 対応の明確な定式化は何か？
• RQ2 精錬された LLC を用いて、$\mathrm{O}_{2n}$ における全般的なプラサド予想の局所シータ対応をどのように証明できるか？
• RQ3 フーリエ–ヤコビ系の局所 GP 予想を用いて、グロス–プラサド予想を直交群 $\mathrm{O}_n$ へ拡張できるか？
• RQ4 $\mathcal{A}_2(\mathrm{O}_{2n})$ の自動形式的離散スペクトルの構造は何か？ また、アーバート多重度公式はどのように適用されるか？
• RQ5 バーゲン $L$-パケッティングおよび局所相互作用関係は、$\mathrm{O}_{2n}$ の純粋内型の表現論をどのように支配するか？

主な発見

• 本稿は、$\mathrm{O}_{2n}(F)$ における完全な局所 Langlands 対応を確立した。$L$-パラメータは、$\mathrm{WD}_F$ の直交的表現として定義され、値は $\mathrm{O}_{2n}(\mathbb{C})$ にとる。
• 全般的なプラサド予想が証明された：$\mathrm{O}_{2n} \times \mathrm{Sp}_{2n}$ および $\mathrm{O}_{2n} \times \mathrm{Sp}_{2n-2}$ の局所シータ対応は、$\mathrm{O}_{2n}$ の LLC を用いて完全に記述される。
• グロス–プラサド予想のフーリエ–ヤコビ系が $\mathrm{O}_n$ へ拡張され、直交群における GP 予想のバージョンが確立された。
• アーバート多重度公式が $\mathrm{O}_{2n}$ に対して確立され、$\mathcal{A}_2(\mathrm{O}_{2n})$ における無限可約表現 $\sigma$ の重複度 $m(\sigma)$ が、$\mathrm{Hom}_{\mathcal{H}(\mathrm{O}_{2n})}(\sigma, \mathcal{A}_2(\mathrm{O}_{2n}))$ の次元に等しいことが示された。
• $\mathcal{H}(\mathrm{O}_{2n})$-加群 $\sigma$ が $\iota_c(\sigma) \circ \Delta = \varepsilon_\Sigma$ を満たすとき、制限写像の単射性および Hom 空間の次元の上限を用いて $m(\sigma) = 1$ が示された。
• 局所相互作用関係（仮説 3.10）が主要なメカニズムとして確認され、$L$-パケッティングの構成および自動形式スペクトルにおける重複度 1 の検証を可能にした。