[论文解读] On the moduli space of singular principal G-bundles over stable curves

Ángel Luis Muñoz Castañeda|arXiv (Cornell University)|Jun 26, 2018

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 6被引用 3

一句话总结

本文建立了在节点曲线上的奇异主G丛的统一线性化，且该线性化不依赖于基曲线。通过利用这种统一性，构造了在稳定曲线族上δ-(半)稳定奇异主G丛的相对紧致模空间，将Mg上的普遍模空间构造问题简化为δ-半稳定沼泽的构造。

ABSTRACT

In this paper we proof the existence of a linearization for singular principal G-bundles not depending on the base curve. This allow us to construct the relative compact moduli space of δ-(semi)stable singular principal G-bundles over families of reduced projective and connected nodal curves, and to reduce the construction of the universal moduli space over $\overline{M}_{g}$ to the construction of the universal moduli space of swamps.

研究动机与目标

• 在具有节点的约化、射影、连通的节点曲线族上，构造δ-(半)稳定奇异主G丛的相对紧致模空间。
• 建立一个不依赖于基曲线的奇异主G丛的统一线性化，以实现在族之间的一致模空间构造。
• 将Mg上普遍模空间的构造简化为δ-半稳定沼泽的普遍模空间的构造。
• 通过沼泽理论技术，将现有主丛模空间结果推广到奇异、节点曲线情形。
• 为通过沼泽理论对主G丛在Mg上的普遍模空间进行紧化提供基础。

提出的方法

• 利用全忠实表示ρ: G ↪→SL(n)，将奇异主G丛实现为对偶(F, φ)，其中F为无挠层，φ为代数层的同态。
• 应用关于节点曲线上无挠层局部结构延拓至仿射开邻域的结果（定理3.3），确保良好的局部行为。
• 分析对称代数S•(V⊗F)^G，以确定生成该代数所需的最小分次部分数量，证明该数量仅依赖于亏格和秩（定理4.2）。
• 引入“沼泽”(F, φ)的概念，作为主丛的推广，其具有希尔伯特多项式P，且同态φ: (F⊗a)⊕b → L。
• 通过定理5.5，在所有节点曲线上建立与沼泽类型(a,b)相关的统一线性化，且该线性化不依赖于基曲线。
• 将统一线性化应用于通过GIT构造相对模空间，利用Hg上的普遍族，并将SLN+1作用提升至模空间。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否为节点曲线上奇异主G丛构造一个不依赖于基曲线的统一线性化？
• RQ2 奇异G-丛的关联沼泽类型(a,b)在不同节点曲线上是否保持不变？
• RQ3 能否使用GIT构造在稳定曲线族上δ-半稳定奇异G-丛的相对模空间？
• RQ4 Mg上奇异G-丛的普遍模空间在多大程度上可简化为δ-半稳定沼泽的普遍模空间的构造？
• RQ5 Gieseker对Mg的构造与通过普遍曲线对奇异G-丛模空间的关系如何？

主要发现

• 如定理5.5所证明，奇异主G-丛在节点曲线上关联的沼泽类型(a,b)不依赖于基曲线。
• 如定理6.7所确立，在约化、射影、连通的节点曲线族上，存在δ-(半)稳定奇异主G-丛的相对紧致模空间。
• 在Mg上δ-半稳定奇异G-丛的普遍模空间的构造，可简化为δ-半稳定沼泽的普遍模空间的构造。
• 模空间SPBUg/Hg(ρ)δ-(s)sP → Hg通过GIT被构造为一个粗S-射影模空间，其纤维上具有希尔伯特多项式P。
• SLN+1作用在Hg上被提升至模空间SPBUg/Hg(ρ)δ-(s)sP，从而可通过GIT构造Mg上普遍模空间。
• 本研究结果将Schmitt、Langer和Gómez-Sols的先前构造推广至奇异、节点曲线情形，为主G-丛模空间提供了紧化。