[论文解读] On the skeleton of the pyramidal tours polytope

В. А. Бондаренко, Andrei V. Nikolaev|arXiv (Cornell University)|Oct 17, 2017

Optimization and Packing Problems参考文献 12被引用 5

一句话总结

本文建立了关于金字塔巡回路线多面体 PYR(n) 中顶点邻接关系的必要且充分条件，从而实现了线性时间的邻接性测试。研究证明，PYR(n) 的骨架直径为 2，团数为 Θ(n²)，表明基于线性比较的算法具有多项式复杂度，与一般 TSP 多面体的指数团数形成鲜明对比。

ABSTRACT

We consider the skeleton of the pyramidal tours polytope. Hamiltonian tour is called pyramidal if the salesperson starts in city $1$, then visits some cities in increasing order, reaches city $n$ and returns to city $1$, visiting the remaining cities in decreasing order. The polytope $PYR(n)$ is defined as the convex hull of characteristic vectors of all pyramidal tours in the complete graph $K_{n}$. The skeleton of the polytope $PYR(n)$ is the graph whose vertex set is the vertex set of $PYR(n)$ and edge set is the set of geometric edges or one-dimensional faces of $PYR(n)$. We describe the necessary and sufficient condition for the adjacency of vertices of the polytope $PYR(n)$. On this basis we developed an algorithm to check the vertex adjacency with a linear complexity. We establish that the diameter of $PYR(n)$ skeleton equals 2, and the asymptotically exact estimate of $PYR(n)$ skeleton's clique number is $Θ(n^{2})$. It is known that this value characterizes the time complexity in a broad class of algorithms based on linear comparisons.

研究动机与目标

• 刻画金字塔巡回路线多面体 PYR(n) 中顶点邻接关系。
• 设计一种高效算法，用于测试 PYR(n) 中顶点的邻接性。
• 确定 PYR(n) 的 1-骨架的直径与团数。
• 将 PYR(n) 的多面体结构与一般 TSP 多面体 TSP(n) 的结构进行比较。
• 探讨组合优化中多面体复杂度与算法复杂度之间的关系。

提出的方法

• 作者将金字塔巡回路线定义为从城市 1 出发的哈密顿回路，依次按递增顺序访问城市至城市 n，再以递减顺序返回。
• 基于其特征向量的结构，推导出两个金字塔巡回路线在多面体中邻接的必要且充分条件。
• 利用该条件，设计了一种线性时间算法，用于测试 PYR(n) 中顶点的邻接性。
• 通过组合与几何论证，证明了 PYR(n) 的 1-骨架直径恰好为 2。
• 通过构造一个包含 (⌊(n−3)/4⌋+1)² 个金字塔巡回路线的集合 Z，建立了团数的下界。
• 结合上下界，证明团数的渐近增长率为 Θ(n²)。

实验结果

研究问题

• RQ1 金字塔巡回路线多面体 PYR(n) 的两个顶点邻接的必要且充分条件是什么？
• RQ2 PYR(n) 的 1-骨架的直径是多少？
• RQ3 PYR(n) 的 1-骨架的团数的渐近增长速率如何？
• RQ4 PYR(n) 的多面体结构与一般 TSP 多面体 TSP(n) 的结构相比有何异同？
• RQ5 PYR(n) 中顶点邻接性测试的计算复杂度是多少？

主要发现

• 本文为金字塔巡回路线多面体 PYR(n) 中的顶点邻接性提供了必要且充分条件，从而支持了线性时间邻接性测试算法的实现。
• PYR(n) 的 1-骨架直径恰好为 2，意味着任意两个顶点之间均存在长度不超过两条边的路径。
• PYR(n) 的 1-骨架团数为 Θ(n²)，为多项式时间复杂度，且渐近精确。
• 团数的下界通过构造一个包含 (⌊(n−3)/4⌋+1)² 个两两邻接的金字塔巡回路线的集合得以确立。
• 团数的上界为 O(n²)，由特征向量可能配置数的计数推导得出。
• 结果表明，PYR(n) 在多面体结构上更接近多项式可解问题，而非一般 TSP 这类 NP-难问题。