[論文レビュー] On the structure of cofree Hopf algebras

Jean-Louis Loday, Marı́a Ronco|ArXiv.org|May 17, 2004

Advanced Topics in Algebra参考文献 13被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、コフリーコホモロジー代数が $U2(\mathrm{Prim}\,\mathcal{H})$ に同型であることを示すことにより、ホップ代数に対するカルティエ＝ミルナー＝ムーアおよびポincare＝バーキンホフ＝ワイットの定理の非ココミュタティブな類似を確立する。ここで $\mathrm{Prim}\,\mathcal{H}$ は $\mathop{B_{\infty}}$-代数である。この構成は、$\mathop{B_{\infty}}$-代数から2-結合代数への新しい関手 $U2$ に依拠しており、その明示的実現は平面根付き木を用いてなされる。

ABSTRACT

We prove an analogue of the Poincare'-Birkhoff-Witt theorem and of the Cartier-Milnor-Moore theorem for non-cocommutative Hopf algebras. The primitive part of a cofree Hopf algebra is a B-infini-algebra. We construct a universal enveloping functor U2 from B-infini-algebras to 2-associative algebras, i.e. algebras equipped with two associative operations. We show that any cofree Hopf algebra H is of the form U2(Prim H). We take advantage of the simple description of the free 2as-algebra in terms of planar trees to unravel the structure of the operad B-infini.

研究の動機と目的

• 非ココミュタティブなホップ代数へのカルティエ＝ミルナー＝ムーアおよびポincare＝バーキンホフ＝ワイットの定理の一般化を図ること。
• コフリーコホップ代数の原始的部品が、Lie代数ではなく $\mathop{B_{\infty}}$-代数として特徴づけられることを特定すること。
• $\mathop{B_{\infty}}$-代数から2-結合代数への普遍包あらわし関手 $U2$ を構成すること。
• 平面根付き木を用いた明示的な組合せ的記述を通じて、自由2-結合代数の構造を提供すること。
• $U2$ 関手と $\mathop{B_{\infty}}$-オペラッドを用いた、コフリーコホップ代数の構造定理を確立すること。

提案手法

• 2-結合バイアルゲブラの概念を導入し、バイアルゲブラ構造と単位的インフィニティズマルバイアルゲブラ構造を統合する。
• $\mathop{B_{\infty}}$-代数から2-結合代数への普遍包あらわし関手 $U2$ を、自由2-結合代数の商として定義する。
• 自由2-結合代数を、平面根付き木のテンソル代数として構成し、操作と余乗法を組合せ的に定義する。
• 自由2-結合代数の記述を用いて、任意のコフリーコホップ代数 $\mathcal{H}$ に対して $U2(\mathrm{Prim}\,\mathcal{H}) \cong \mathcal{H}$ を示す。
• $\mathop{B_{\infty}}$-オペラッドが $K[T\!\!T_n] \otimes K[S_n]$ に同型であることを証明する。ここで $T\!\!T_n$ は $n$ 個の葉を持つ平面根付き木の集合である。
• 平面根付き木のホップ代数が自己双対的であり、コンネス＝クライマーのホップ代数と類似の構造を持つことを確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非ココミュタティブなコフリーコホップ代数において、原始的部品の代わりにどのような構造が現れるか？
• RQ2 ポincare＝バーキンホフ＝ワイットおよびカルティエ＝ミルナー＝ムーアの定理は、ココミュタティブな場合を越えてどのように拡張可能か？
• RQ3 $\mathop{B_{\infty}}$-代数は、コフリーコホップ代数の原始的部品をどのように記述するか？
• RQ4 $\mathop{B_{\infty}}$-代数の普遍包あらわし代数はどのように構成され、組合せ的に実現されるか？
• RQ5 自由2-結合代数の正確なオペラッド的構造は何か？また、平面木とはどのような関係にあるか？

主な発見

• 任意のコフリーコホップ代数 $\mathcal{H}$ は、$U2(\mathrm{Prim}\,\mathcal{H})$ に同型であり、ここで $U2$ は $\mathop{B_{\infty}}$-代数から2-結合代数への普遍包あらわし関手である。
• コフリーコホップ代数の原始的部品は自然に $\mathop{B_{\infty}}$-代数構造を備える。
• ベクトル空間 $V$ 上の自由2-結合代数は、$n$ 個の葉を持つ平面根付き木の集合上のテンソル代数に同型である。
• $\mathop{B_{\infty}}$-オペラッドは $\mathop{B_{\infty}}(n) = K[T\!\!T_n] \otimes K[S_n]$ として記述され、ここで $T\!\!T_n$ は $n$ 個の葉を持つ平面根付き木の集合である。
• 平面根付き木のホップ代数は自己双対的であり、コンネス＝クライマーのホップ代数と構造的に類似している。
• $U2$ の構成により、自由 $\mathop{B_{\infty}}$-代数が自由2-結合代数の原始的部品として新たに実現される。