[論文レビュー] On the transverse invariant for bindings of open books

David Shea Vela–Vick|arXiv (Cornell University)|Jun 10, 2008

Geometric and Algebraic Topology参考文献 15被引用数 7

ひとこと要約

本稿では、接触構造と適合する開本分解のバインディングとして得られる任意の横断的絡み目 $T$ に対して、knot Floer homology における横断的不変量 $ˇ{T}(T)$ が消えないことを確立している。接触構造がtight であるかovertwisted であるかにかかわらず成り立つ。主な貢献は、補集合に接触不変量が自明である部分多様体を含むとき、sutured Floer homology におけるLegendrian不変量が消えるという定理であり、その系として、開本の連結なバインディングの補集合にはGiroux torsion が存在しないことが示される。

ABSTRACT

Consider a transverse knot which is the binding of an open book for the ambient contact manifold. In this paper, we show that the transverse invariants defined by Lisca, Ozsvath, Stipsicz, and Szabo (LOSS) are nonvanishing for such transverse knots. This is true regardless of whether or not the ambient contact structure is tight. We also prove a vanishing theorem for LOSS's Legendrian and transverse invariants. As a corollary, we show that if (T,π) is an open book with connected binding, then the complement of T has no Giroux torsion.

研究の動機と目的

• 開本分解と接触構造に適合する横断的絡み目として得られる横断的およびLegendrian不変量が、knot Floer homology でどのように振る舞うかを調査すること。
• 補集合内の部分多様体の接触不変量が自明である場合に、sutured Floer homology におけるLegendrian不変量の消滅基準を確立すること。
• 開本分解における連結バインディングの補集合がGiroux torsion を含まないことを示し、トポロジー的制約と接触不変量を結びつけること。
• 従来のLegendrian不変量の消滅定理を、接触不変量が自明なより広いクラスの部分多様体へ一般化すること。

提案手法

• sutured Floer homology における接触不変量と、接触の貼り合わせにおけるその挙動を用いて、Legendrianおよび横断的絡み目の不変量を分析する。
• sutured Floer homology の貼り合わせ定理を適用し、Legendrian絡み目 $L$ の補集合内に、凸境界を持つコンパクトな部分多様体 $N$ が存在し、$c(N,ξ|_N)$ がsutured Floer homology 内で自明であれば、$L$ の不変量が消えることを示す。
• Legendrian絡み目から部分開本分解を構成し、ハンドル付加を用いて、周囲の多様体に対する完全な開本に拡張する。
• Heegaard Floer homology におけるモノドロミー写像の同相不変性を用いて、同相的変更のもとで接触要素の消滅が保たれることを保証する。
• 接触要素が自明な多様体のsutured Floer homology で消えることを利用し、Legendrian不変量の消滅を導出する。
• Girouxの定理による開本と接触構造の対応関係を用いて、バインディングのトポロジカル構造と補集合の接触幾何学を結びつける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 接触構造に適合する開本のバインディングである横断的絡み目 $T$ に対して、横断的不変量 $ˇ{T}(T)$ は消えるか？
• RQ2 補集合内に接触不変量が自明な部分多様体が存在する場合、$β{HFK}^{-}(-Y,L)$ 内のLegendrian不変量 $β{L}(L)$ が消える条件は何か？
• RQ3 Legendrian絡み目の補集合内の部分多様体 $N$ で接触不変量が消えると、Legendrian不変量も消えると結論づけられるか？
• RQ4 開本分解における連結バインディングの補集合は、必然的にGiroux torsion を含まないか？
• RQ5 開本のバインディングに対して横断的不変量が非消滅することは、周囲の接触構造がtight であるかどうかに依存しないか？

主な発見

• 接触構造に適合する開本分解のバインディングである任意の横断的絡み目 $T$ に対して、横断的不変量 $ˇ{T}(T)$ は消えない。接触構造がovertwistedであっても成り立つ。
• Legendrian絡み目 $L$ の補集合に、凸境界を持つコンパクトな部分多様体 $N$ が存在し、$c(N,ξ|_N)$ がsutured Floer homology 内で自明であれば、Legendrian不変量 $β{L}(L)$ は消える。
• 系として、Legendrian絡み目の補集合に正のGiroux torsion が存在するならば、そのLegendrian不変量は消える。
• 開本分解における連結バインディングの補集合には、周囲の接触構造がtight であるかovertwisted であるかにかかわらず、Giroux torsion が存在しない。
• 開本のバインディングに対して横断的不変量 $ˇ{T}(T)$ は非消滅であり、この非消滅性は、対応するLegendrian不変量 $β{L}(L)$ の非消滅を示唆する。
• 補集合内の部分多様体 $N$ で接触不変量が消えると、Legendrian不変量も消えることが示され、これは既知のovertwistedディスクに対する結果を一般化する。