[論文レビュー] On the two-variable Dirichlet q-L-series

Yılmaz Şimşek, Daeyeoul Kim+1 more|ArXiv.org|Nov 12, 2005

Advanced Mathematical Identities参考文献 19被引用数 22

ひとこと要約

本稿では、一般化された $q$-ベルヌーイ多項式および数を補間する二変数ディリクレ型 $q$-L-関数と複数のチャングイ $q$-L-関数を導入する。メリン変換と複素解析を用いて、積分表現を導出し、これらの $q$-L-関数とバーナーズ型 $q$-ゼータ関数との関係を確立することで、古典的 $L$-関数理論を複数変数およびディリクレ指標を含む $q$-類似に拡張する。

ABSTRACT

In this study, we construct the two-variable multiple Dirichlet q-L-function and two-variable multiple Dirichlet type Changhee q-L-function. These functions interpolate the q-Bernoulli polynomials and generalized Changhee q-Bernoulli polynomials. By using the Mellin transformation, we give an integral representation for the two-variable multiple Dirichlet type q-zeta function and the two variable multiple Dirichlet type Changhee q-L-function.

研究の動機と目的

• $q$-微積分を用いて古典的 $L$-関数を一般化する二変数ディリクレ型 $q$-L-関数を定義し、その性質を研究すること。
• バーナーズ型複数変数ゼータ関数の $q$-類似として、複数のチャングイ $q$-L-関数を構成すること。
• これらの $L$-関数を用いて一般化された $q$-ベルヌーイ数および多項式の解析的補間を確立すること。
• メリン変換と留数計算を用いて積分表現を導出すること。
• 新規に導入された $q$-L-関数とバーナーズ型 $q$-ゼータ関数との関係を調査すること。

提案手法

• $q$-整数およびディリクレ指標を含む級数を用いて、二変数ディリクレ型チャングイ $q$-L-関数 $L_q(s,x|\rho;w_1)$ を定義する。
• メリン変換を用いて、複数のチャングイ $q$-L-関数の積分表現を導出する。
• 留数定理を適用して、負の整数における $L$-関数の特殊値と一般化された $q$-ベルヌーイ数との関係を特定する。
• $L$-関数の生成関数として、バーナーズ型複数変数チャングイ $q$-ゼータ関数 $\zeta_{q,r}(s,w|w_1,...,w_r)$ を構成する。
• 級数展開とパラメータの置き換えを用いて、複数の $q$-L-関数とバーナーズ型 $q$-ゼータ関数との関係を確立する。
• $p$-進 $q$-積分と生成関数を用いて、結果を複数変数ゼータ関数および $L$-関数の $q$-類似に拡張する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どのようにして、$q$-ベルヌーイ多項式を補間する二変数 $q$-類似のディリクレ $L$-関数を構成できるか？
• RQ2 メリン変換技法を用いた場合、複数のチャングイ $q$-L-関数の積分表現はどのような形か？
• RQ3 二変数 $q$-L-関数の負の整数における特殊値は、一般化された $q$-ベルヌーイ数とどのように関係するか？
• RQ4 バーナーズ型複数変数チャングイ $q$-ゼータ関数と複数の $q$-L-関数との関係は何か？
• RQ5 $q$-L-関数は解析接続可能であり、既知の $q$-ゼータ関数で表現可能か？

主な発見

• 二変数ディリクレ型チャングイ $q$-L-関数 $L_q(s,x|\rho;w_1)$ が定義され、$L_q(1-n,x|\rho;w_1) = -\beta_{n,\rho}(x:q|w_1)/n$ を用いて一般化された $q$-ベルヌーイ多項式を補間することが示された。
• メリン変換と留数計算を用いて、複数のチャングイ $q$-L-関数の積分表現が導出された。
• 複数のチャングイ $q$-L-関数 $L_{q,r}(s,\rho|w_1,...,w_r)$ は、$q$-指数関数およびディリクレ指標を含む多重和として表現された。
• バーナーズ型複数変数チャングイ $q$-ゼータ関数 $\zeta_{q,r}(s,w|w_1,...,w_r)$ が定義され、級数展開を用いて複数の $q$-L-関数と関係づけられた。
• $L_{q,r}$-関数の $s = 1 - n$ における特殊値は、一般化された多重チャングイ $q$-ベルヌーイ数 $B_{n,\rho}^{(r)}(x,q|w_1,...,w_r)$ を用いて明示的に与えられた。
• パラメータの置き換えと級数の再インデックス化を用いて、二変数多重 $q$-L-関数とバーナーズ型 $q$-ゼータ関数との関係が確立された。