[論文レビュー] One-sided $(b, c)$-inverses in rings

Yuanyuan Ke, Jelena Višnjić+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 21, 2016

Matrix Theory and Algorithms参考文献 13被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、環における片側$(b,c)$-逆元および片側零化$(b,c)$-逆元を導入し、$(b,c)$-逆元および要素に沿った片側逆元を一般化する逆元として定義する。これらが存在するための必要十分条件を確立し、特定の要素 $1 + (α - a)a^{ op}$ の左/右逆元性と片側$(b,c)$-逆元性の同値性を証明することで、非可換環における一般化逆元理論を統合的かつ拡張的に展開する。

ABSTRACT

In this paper we introduce a new generalized inverse in a ring -- one-sided $(b, c)$-inverse, derived as an extension of $(b, c)$-inverse. This inverse also generalizes one-sided inverse along an element, which was recently introduced by H. H. Zhu et al. [H. H. Zhu, J. L. Chen, P. Patrício, Further results on the inverse along an element in semigroups and rings, Linear Multilinear Algebra, 64 (3) (2016) 393-403]. Also, here we present one-sided annihilator $(b, c)$-inverse, which is an extension of the annihilator $(b, c)$-inverse. Necessary and sufficient conditions for the existence of these new generalized inverses are obtained. Furthermore, we investigate conditions for the existence of one-sided $(b, c)$-inverse of a product of three elements and we consider some properties of one-sided $(b, c)$-inverses.

研究の動機と目的

• 環における片側$(b,c)$-逆元を導入することで、$(b,c)$-逆元および要素に沿った片側逆元を一般化すること。
• 零化$(b,c)$-逆元の拡張として片側零化$(b,c)$-逆元を定義し、その性質を調査すること。
• 片側$(b,c)$-逆元の存在に必要な十分条件を確立すること。
• 3つの要素の積に対する片側$(b,c)$-逆元の存在を検討すること。
• 構造的環論的条件を用いて、既存の一般化逆元に関する結果を統合的かつ拡張的に展開すること。

提案手法

• 条件 $yab = b$, $cay = c$, および $y \in bRy \cap yRc$ を用いて左および右$(b,c)$-逆元を定義し、存在する場合には一意であることを保証する。
• 条件 $yay = y$, $^\circ b = ^\circ y$, および $y^\circ = c^\circ$ を用いて片側零化$(b,c)$-逆元を導入し、一意性を保証する。
• 像および核のイデアル（$aR$, $Ra$, $^\circ a$, $a^\circ$）などの環論的道具を用いて存在条件を特徴付ける。
• ヤコブソンの補題（補題4.1）を用いて、$1 + (α - a)a^{\top}$ および $1 + a^{\top}(\alpha - a)$ の左/右逆元性と片側$(b,c)$-逆元性の関係を確立する。
• 特定の環の要素の逆元性と片側$(b,c)$-逆元性の同値性を証明し、$a$ が$(b,c)$-逆元をもつことを利用する。
• 双対性を用いて左側の結果を右側$(b,c)$-逆元および零化バージョンに拡張する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 環 $R$ における要素 $\alpha$ に対して、片側$(b,c)$-逆元が存在する条件は何か？
• RQ2 片側$(b,c)$-逆元は、古典的$(b,c)$-逆元および要素に沿った逆元とどのように関係しているか？
• RQ3 $a$ が$(b,c)$-逆元をもつものとすると、$\alpha$ の左$(b,c)$-逆元性と $1 + (\alpha - a)a^{\top}$ の左逆元性の関係は何か？
• RQ4 3つの要素の積に対する片側$(b,c)$-逆元の存在は、成分を用いて特徴づけられるか？
• RQ5 片側$(b,c)$-逆元の零化バージョンは、標準的$(b,c)$-逆元とどのように異なり、どのように拡張するか？

主な発見

• $\alpha$ の左$(b,c)$-逆元が存在するための必要十分条件は $R = Rc\alpha + ^\circ b$ であり、右側の場合も同様に双対的に成り立つ。
• $a$ が$(b,c)$-逆元をもつことにより、$b$ および $c$ が正則であり、$bR = a^{\top}R$, $Rc = Ra^{\top}$ が成り立つことが示され、これが存在条件の導出に用いられる。
• 左$(b,c)$-逆元性は、補題4.1を用いて $1 + (\alpha - a)a^{\top}$ の左逆元性と同値であり、右側の場合も同様に成り立つ。
• 片側零化$(b,c)$-逆元は $yay = y$, $^\circ b = ^\circ y$, $y^\circ = c^\circ$ で特徴づけられ、零化$(b,c)$-逆元を一般化する。
• 本稿の結果は、要素に沿った逆元および$(b,c)$-逆元の理論を統合的かつ拡張的に展開し、要素に沿った片側逆元が片側$(b,c)$-逆元の特別な場合であることを示している。
• 本稿は、非可換環における片側逆元の分析のための枠組みを提供し、要素の積や構造的性質への応用を含む。