[论文解读] One-Step Stochastic Processes Simulation Software Package

Ekaterina G. Eferina, Anna V. Korolkova+3 more|arXiv (Cornell University)|Mar 25, 2015

Aquatic and Environmental Studies参考文献 5被引用 7

一句话总结

本文提出了一款软件包，通过计算机代数（FriCAS/Axiom）和数值语言（Fortran, Julia）自动化构建与数值模拟随机一步过程。该软件包基于主方程原理生成随机微分方程（SDE），并利用随机龙格-库塔方法实现数值分析，以捕食者-猎物模型为例，展示了随机性导致某一物种灭绝，验证了该方法与确定性模型的一致性。

ABSTRACT

Background. It is assumed that the introduction of stochastic in mathematical model makes it more adequate. But there is virtually no methods of coordinated (depended on structure of the system) stochastic introduction into deterministic models. Authors have improved the method of stochastic models construction for the class of one-step processes and illustrated by models of population dynamics. Population dynamics was chosen for study because its deterministic models were sufficiently well explored that allows to compare the results with already known ones. Purpose. To optimize the models creation as much as possible some routine operations should be automated. In this case, the process of drawing up the model equations can be algorithmized and implemented in the computer algebra system. Furthermore, on the basis of these results a set of programs for numerical experiment can be obtained. Method. The computer algebra system Axiom is used for analytical calculations implementation. To perform the numerical experiment FORTRAN and Julia languages are used. The method Runge--Kutta method for stochastic differential equations is used as numerical method. Results. The program compex for creating stochastic one-step processes models is constructed. Its application is illustrated by the predator-prey population dynamic system. Conclusions. Computer algebra systems are very convenient for the purposes of rapid prototyping in mathematical models design and analysis.

研究动机与目标

• 从第一原理出发，自动化构建随机一步过程模型，减少手动推导SDE的工作量。
• 开发一个软件流水线，将分析模型描述转换为可用于随机模拟的可执行数值代码。
• 将计算机代数系统与数值求解器集成，以高效原型化种群动力学中的随机模型。
• 通过对比经典捕食者-猎物系统中随机与确定性结果的一致性，验证方法的有效性。

提出的方法

• 该方法以主方程为基础进行随机建模，推导出相应的福克-普朗克方程和SDE表示形式。
• 使用计算机代数系统（FriCAS，源自Axiom）符号化推导SDE的漂移系数（A^i）和扩散系数（B^{ij}）。
• 将SDE系数输出为文本文件，并用于生成Fortran和Julia的数值求解器代码。
• 通过奇异值分解（LAPACK的DGESVD）从B^{ij}计算矩阵b^i_α，以定义噪声结构。
• 使用Python脚本自动化生成SDE函数模块和主程序，集成随机龙格-库塔方法。
• 数值实验采用变阶数龙格-库塔格式求解SDE，通过约束条件防止种群数量出现负值。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何利用计算机代数系统，对一步随机过程的形式化进行系统化与自动化？
• RQ2 能否开发一个软件流水线，将基于主方程的模型自动转换为高性能编程语言中的可执行SDE代码？
• RQ3 确定性模型与随机模型在捕食者-猎物模型中的长期行为有何差异？
• RQ4 内在随机性在生态模型中如何影响物种的持续存在？

主要发现

• 该软件包成功实现了从主方程到SDE系数的自动化推导，显著减少了人工推导的工作量。
• 对于参数α=10, β=1.5, γ=8.5, δ=1.8，随机模型中猎物率先灭绝，随后因缺乏食物导致捕食者灭绝。
• 当δ=0.5时，捕食者灭绝，而猎物种群迅速增长，与模型中猎物食物无限的假设一致。
• 数值模拟结果表明，随机性引入了确定性模型中不存在的灭绝事件，验证了该方法的生物学相关性。
• 该软件流水线能正确从符号表达式生成Fortran和Julia代码，支持高效数值实验。