[论文解读] Online Algorithms for Machine Minimization

Nikhil R. Devanur, Konstantin Makarychev+2 more|arXiv (Cornell University)|Mar 3, 2014

Optimization and Search Problems参考文献 34被引用 8

一句话总结

该论文通过提出一个具有最优竞争比 $e$ 的算法，解决了单位长度作业的确定性在线机器最小化问题，证明该比值既可实现又紧致。此外，还为具有任意作业长度的统一截止时间情况设计了常数竞争比的算法，并通过一种新颖的到顶点权匹配的约化，为在线吞吐量最大化问题提出了一个随机化的 $\frac{e}{e-1}$ 竞争比算法。

ABSTRACT

In this paper, we consider the online version of the machine minimization problem (introduced by Chuzhoy et al., FOCS 2004), where the goal is to schedule a set of jobs with release times, deadlines, and processing lengths on a minimum number of identical machines. Since the online problem has strong lower bounds if all the job parameters are arbitrary, we focus on jobs with uniform length. Our main result is a complete resolution of the deterministic complexity of this problem by showing that a competitive ratio of $e$ is achievable and optimal, thereby improving upon existing lower and upper bounds of 2.09 and 5.2 respectively. We also give a constant-competitive online algorithm for the case of uniform deadlines (but arbitrary job lengths); to the best of our knowledge, no such algorithm was known previously. Finally, we consider the complimentary problem of throughput maximization where the goal is to maximize the sum of weights of scheduled jobs on a fixed set of identical machines (introduced by Bar-Noy et al. STOC 1999). We give a randomized online algorithm for this problem with a competitive ratio of e/e-1; previous results achieved this bound only for the case of a single machine or in the limit of an infinite number of machines.

研究动机与目标

• 解决单位长度作业在线机器最小化问题的确定性竞争比，该问题此前已知下界为 2.09，上界为 5.2。
• 为所有作业具有相同截止时间但处理长度任意的变体设计一个常数竞争比的算法。
• 为固定数量相同机器上的在线吞吐量最大化问题提供一个随机化在线算法，竞争比为 $\frac{e}{e-1}$，优于以往仅在单机或渐近情形下达到该界的结果。
• 通过证明单位长度作业的上下界均为 $e$，为在线机器最小化问题建立紧致界。
• 提出一种从在线吞吐量最大化问题到在线顶点权匹配问题的新型约化，使竞争比分析可通过匹配理论实现。

提出的方法

• 提出一种在线算法，将可用作业在 $\alpha k$ 台机器上按最早截止时间优先（EDF）进行调度，其中 $k$ 是所有已释放作业的离线最优机器数，$\alpha$ 为竞争比。
• 通过线性规划框架中对偶解和原始解的组合解释，采用因子揭示方法分析可行性与竞争性。
• 构建一个显式的在线分数调度（对偶解），其机器使用数与在线算法一致，从而支持竞争比分析。
• 对统一截止时间情况采用基于阶段的分析方法，将时间划分为区间，并利用工作量论证限制活跃机器数。
• 通过将作业映射到离线顶点、时间槽映射到在线顶点，将在线吞吐量最大化问题约化为在线顶点权二分图匹配问题。
• 建立有效调度与匹配之间的一一对应关系，确保任意匹配对应一个可行调度，反之亦然。

实验结果

研究问题

• RQ1 单位长度作业在线机器最小化的最优确定性竞争比是多少？
• RQ2 当所有作业具有相同截止时间但处理长度任意时，能否设计出常数竞争比的在线机器最小化算法？
• RQ3 在固定数量相同机器上，在线吞吐量最大化问题的最佳可实现竞争比是多少？
• RQ4 能否将吞吐量最大化问题约化为已知的在线匹配问题，同时保持竞争比不变？
• RQ5 竞争比 $e$ 对于单位长度作业调度是否紧致？能否同时实现并被下界匹配？

主要发现

• 该论文为单位长度作业提出了一种确定性在线算法，竞争比为 $e$，该比值最优，解决了长期悬而未决的开放问题。
• 证明了在单位长度作业设置下，任何确定性算法的竞争比下界均为 $e$，表明无法获得更优的竞争比。
• 对于具有任意作业长度的统一截止时间情况，提出了一种确定性算法，其竞争比为常数，此前该结果尚不为人所知。
• 为吞吐量最大化问题设计了一款随机化在线算法，竞争比为 $\frac{e}{e-1}$，与最佳已知界一致，但现适用于任意有限台机器。
• 从在线吞吐量最大化到在线顶点权匹配的约化保持了竞争比，并可利用现有的随机化原始-对偶技术。
• 分析表明，每个阶段中长作业与短作业的工作量均受离线解容量的限制，从而每阶段的机器数最多为 $8 \times \text{Offline} + 1$，支持了常数竞争比。