[论文解读] Online Feedback Optimization and Singular Perturbation via Contraction Theory

Liliaokeawawa Cothren, Francesco Bullo+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 12, 2023

Control and Stability of Dynamical SystemsEngineering被引用 3

一句话总结

本文提出了一种新颖的微分几何框架，用于分析带有扰动的双时间尺度非线性系统，该框架利用快速子系统的收敛性与降阶模型的收敛性，结合有界的时间尺度参数。研究建立了全系统与降阶系统之间跟踪误差的统一上界，实现了全局与局部收敛性条件，并为在线反馈优化和具有时变优化器的斯塔克尔贝格博弈提供了新的误差界。

ABSTRACT

In this paper, we provide a novel contraction-theoretic approach to analyze two-time scale systems, including those commonly encountered in Online Feedback Optimization (OFO). Our framework endows these systems with several robustness properties, enabling a more comprehensive characterization of their behaviors. The primary assumptions are the contractivity of the fast sub-system and the reduced model, along with an explicit upper bound on the time-scale parameter. For two-time scale systems subject to disturbances, we show that the distance between solutions of the nominal system and solutions of its reduced model is uniformly upper bounded by a function of contraction rates, Lipschitz constants, the time-scale parameter, and the variability of the disturbances over time. Applying these general results to the OFO context, we establish new individual tracking error bounds, showing that solutions converge to their time-varying optimizer, provided the plant and steady-state feedback controller exhibit contractivity and the controller gain is suitably bounded. Finally, we explore two special cases: for autonomous nonlinear systems, we derive sharper bounds than those in the general results, and for linear time-invariant systems, we present novel bounds based on induced matrix norms and induced matrix log norms.

研究动机与目标

• 开发一种基于微分几何的分析框架，用于研究双时间尺度系统，以提升其鲁棒性与稳定性表征能力。
• 通过使用收缩率与利普希茨常数，克服传统李雅普诺夫方法的局限性，以获得更紧致的误差界。
• 提供明确的条件，确保全系统解在时间上均匀地跟踪降阶模型的解。
• 将分析扩展至时变扰动与时变优化器，应用于在线反馈优化与层级博弈等场景。
• 基于对数范数与诱导范数，推导线性时不变与自治非线性系统的新型误差界。

提出的方法

• 该方法基于在适当范数下快速子系统与降阶模型具有强无穷小收敛性的假设。
• 引入时间尺度参数 ε 的显式上界，以确保稳定性与收敛性。
• 通过收缩率与利普希茨常数量化全系统与降阶模型轨迹之间的距离。
• 对于线性系统，该方法采用对数范数与诱导范数，推导出更紧致的误差界。
• 该框架被应用于两个应用领域：在线反馈优化与斯塔克尔贝格博弈，其中追踪时变优化器。
• 推导出一种基于矩阵的赫尔维茨条件，用于稳定性分析，涉及以系统参数与收缩率表示的 ε 的边界。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何利用微分几何理论表征双时间尺度系统在扰动下的鲁棒性与稳定性？
• RQ2 时间尺度参数 ε 的显式上界为何值时，可确保全系统与降阶模型之间具有统一的跟踪误差？
• RQ3 所提出的框架能否为自治非线性系统与线性时不变系统提供比现有李雅普诺夫方法更紧致的误差界？
• RQ4 微分几何方法如何实现在线反馈优化与层级博弈中对时变优化器的追踪？
• RQ5 系统矩阵需满足何种条件，才能保证双时间尺度系统中广义雅可比矩阵 𝒢ε 的赫尔维茨性质？

主要发现

• 双时间尺度系统与其降阶模型解之间的距离，被统一上界所限制，该上界依赖于收缩率、利普希茨常数、时间尺度参数 ε 以及扰动的时间变异性。
• 基于快速子系统与降阶模型的收敛性，建立了双时间尺度系统全局与局部收敛性的充分条件。
• 对于自治非线性系统，本文推导出比一般情况更紧致的误差界，优于先前结果。
• 对于线性时不变系统，通过使用对数范数与诱导范数，推导出新的误差界，相比标准方法提供了更紧致的估计。
• 在在线反馈优化与斯塔克尔贝格博弈中，该框架给出了显式的跟踪误差界，表明系统可收敛至时变优化器，且整体收缩率可被计算。
• 推导出广义雅可比矩阵 𝒢ε 具有赫尔维茨性质的充分条件，要求 ε 小于以系统参数 a_ij, d_ij 表示的函数，从而确保稳定性。